Espace réflexif

Définition intuitive

Étant donné un espace vectoriel de dimension finie $X$, il est connu que $X$ est isomorphe à son dual $X^{*}$. En appliquant ce fait de nouveau, on trouve que $X$ est isomorphe à son bidual $X^{**}$. En fait, cet isomorphisme est « naturel » (en un sens intuitif).

En analyse, on travaille avec des espaces vectoriels réels, normés, et souvent de dimension infinie. Il n’arrive pas toujours que $X$ soit aussi « naturellement » isomorphe à son bidual ; les espaces qui satisfont cette propriété sont dit réflexifs.

La réflexivité est, pour bien des raisons, une propriété fondamentale de l’analyse en dimension infinie. Par exemple, elle permet de récupérer (en un certain sens !) la compacité de la boule unité fermée d’un espace de dimension infinie !

Définition formelle

Soit $X$ un espace vectoriel normé. Soit $j_{X} \colon X \to X^{**}$ (où $X^{**}$ désigne le bidual $\textit{topologique}$) définie par $x \mapsto (x^{*} : \phi \mapsto \phi(x))$. Par le théorème de Hahn-Banach, l’application $j_{X}$ est une isométrie linéaire, appellée injection canonique de $X$ vers $X^{**}$. On dit que $X$ est réflexif si $j_{X}$ est surjective.

Exemples

• Les espaces normés de dimension finie sont réflexifs.
• Les espaces de Hilbert sont réflexifs.
• Si $1 < p < \infty$, les espaces $\mathrm{L}^{p}(X, \mathcal{T}, \mu)$ sont réflexifs (où $\mu$ est une mesure $\sigma$-finie et $(X,\mathcal{T})$ un espace mesurable). En particulier les espaces $\ell^{p}$ sont réflexifs si $1 < p < \infty$.
• Les espaces $c_{0}$, $\ell^{1}$ et $\ell^{\infty}$ ne sont pas réflexifs.
• Si $K$ est un espace compact métrisable infini, l’espace $\mathcal{C}(K)$ n’est pas réflexif.

Propriétés

Un espace réflexif est toujours un espace de Banach, puisqu’isométrique à un espace de Banach. Il existe bien des propriétés qui caractérisent les espaces réflexifs. En voici certaines :

• Un espace de Banach $X$ est réflexif si et seulement si sa boule unité fermée est faiblement compacte.
• Un espace de Banach $X$ est réflexif si et seulement si de toute suite bornée on peut extraire une sous-suite faiblement convergente.
• Un espace de Banach $X$ est réflexif si et seulement si toute forme linéaire continue atteint sa norme.

Aucune des propriétés précédente n’est de nature évidente, surtout la dernière (qui est un théorème dû à Robert C. James). Un autre fait surprenant est qu’il existe des espaces non réflexifs et pourtant isométriques à leur bidual (le premier exemple de ce phénomène est appellé l’espace de James, donné par Robert C. James).