Une propriété des espaces réflexifs

Soit $X$ un espace normé réflexif. Soit $\phi$ une forme linéaire continue sur $X$ . Montrer qu’il existe $x \in B_{X}$ tel que $\lVert \phi \rVert = \phi(x)$ . En d’autres termes, montrer que toute forme linéaire continue sur $X$ atteint sa norme.

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Solution by La chouette aveugle

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Par le théorème de Hahn-Banach, si $\phi \in X^{*}$ , il existe un élément $\psi$ de $B_{X^{**}}$ tel que $\psi(\phi) = \lVert \phi \rVert$ . Comme $X$ est réflexif il existe $x \in B_{X}$ tel que $\psi$ est de la forme $\phi \mapsto \phi(x)$ . Ainsi, $\lVert \phi \rVert = \psi(\phi) = \phi(x)$ , d’où le résultat.

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