Lemme de Goldstine

Intuition

En général, si $X$ est un espace normé, l'injection canonique $j_{X} : X \longrightarrow X^{**}$ n’est pas surjective. Le lemme de Goldstine énonce que, en affaiblissant un peu la topologie sur $X^{**}$, l’image de $j_{X}$ est dense dans $X^{**}$.

Énoncé

Pour tout espace normé $X$, $j_{X}(B_{X})$ est dense dans $(B_{X^{**}},\sigma(X^{**},X^{*}))$, et $j_{X}(X)$ est dense dans $(X^{**},\sigma(X^{**},X^{*}))$.

Démonstration

Soit $K$ la $\sigma(X^{**},X^{*})$-adhérence de $j_{X}(B_{X})$. Comme la boule unité de $X^{**}$ est préfaiblement fermée (puisque préfaiblement compacte), $K \subset B_{X^{**}}$. Supposons par l’absurde qu’il existe $g \in B_{X^{**}}$ tel que $g \notin K$. Comme $K$ est l’adhérence préfaible d’un convexe, $K$ est aussi convexe et compact. Par le théorème de séparation, il existe une forme linéaire $\phi \in X^{***}$ préfaiblement continue telle que $\mathrm{sup}_{K} \phi < \phi(g)$.

Comme $\phi$ est préfaiblement continue, $\phi$ est une évaluation en un point $y \in X^{*}$. Ainsi, $\mathrm{sup}_{f \in K} f(y) < g(y)$, et comme $j(B_{X}) \subset K$, $\mathrm{sup}_{f \in K}f(y) \geq \mathrm{sup}_{z \in B_{X}}j_{X}(z)(y)\geq \mathrm{sup}_{z \in B_{X}} y(z) = \lVert y \rVert$. On déduit que $g(y) > \lVert y \rVert$, mais comme $g$ est de norme $1$, $g(y) \leq \lVert y \rVert$, ce qui est absurde. Ainsi $\overline{j_{X}(B_{X})} = B_{X^{**}}$.

Si maintenant $x \in X^{**}$, on choisit $\lambda > \lVert x \rVert$, de telle sorte que $x/\lambda \in B_{X^{**}}$. Si $U$ est un voisinage de $x$, $U/\lambda$ est un voisinage d’un point de $B_{X^{**}}$, et contient donc un élément $y$ de $j_{X}(B_{X})$. Ainsi, $\lambda y \in U$, et $U \cap j_{X}(X) \neq \emptyset$, d’où la densité (préfaible) de $j_{X}(X)$ dans $X^{**}$.