Caractérisation de la réflexivité en terme de compacité

Supposons que $X$ est réflexif. On note $j_{X}$ l’injection canonique de $X$ dans $X^{**}$. Comme $j_{X}$ induit un homéomorphisme entre $(B_{X},\sigma(X,X^{*}))$ et $(B_{X^{**}},\sigma(X^{**},X^{*}))$, on déduit que $B_{X}$ est faiblement compacte.

Supposons que $B_{X}$ est faiblement compacte. Comme $j_{X}$ est $\sigma(X,X^{*})$-$\sigma(X^{**},X^{*})$-continue, $j_{X}(B_{X})$ est un compact préfaible de $B_{X^{**}}$. En particulier, $\overline{j_{X}(B_{X})} = j_{X}(B_{X})$, et puisque $j_{X}(B_{X})$ est préfaiblement dense dans $B_{X^{**}}$(par le lemme de Goldstine), on déduit que $j_{X}(B_{X}) = B_{X^{**}}$, d’où que $j_{X}$ est surjective.

Si $X$ est réflexif et que $Y$ est un sous-espace fermé de $X$, par le théorème de séparation forte de Hahn-Banach, $Y$ est un fermé faible. Ainsi, $Y \cap B_{X} = B_{Y}$ est un compact faible de $X$, donc de $Y$. On déduit ainsi que $Y$ est réflexif.

Enfin, si $(x_{n})_{n}$ est une suite bornée en norme par une constante $M > 0$, soit $V = \overline{\mathrm{Vect}(\lbrace x_{n} \mid n \in \mathbb{N}\rbrace)}$. Il est clair que $(x_{n})_{n}$ est une suite bornée d’éléments de $V$. Comme $V$ est séparable, tout compact préfaible est métrisable, et comme $B_{V}$ est un compact faible, $M\,.\, B_{V}$ l’est aussi, et donc $(x_{n})_{n}$ admet une sous-suite faiblement convergente dans $V$, donc faiblement convergence dans $X$.