Forme linéaire

Définition intuitive

Une forme linéaire est un outil permettant de mesurer les vecteurs. Elle extrait de chaque vecteur une information numérique, comme par exemple sa composante selon un certain axe.

Cette mesure est dite linéaire car elle respecte les opérations sur les vecteurs : si l’on additionne deux vecteurs, leurs mesures s’additionnent, et si l’on multiplie un vecteur par un nombre, sa mesure est multipliée par ce même nombre.

Définition formelle

Soit $K$ un corps et $E$ un $K$-espace vectoriel. Une forme linéaire sur $E$ est une application linéaire
$$\varphi:E\to K.$$Autrement dit, pour tous $x,y\in E$ et $\lambda\in K$,
$$\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y),$$et
$$\varphi(\lambda x)=\lambda\varphi(x).$$

Remarques :

• L’ensemble de ces applications, muni des opérations point par point, est un $K$-espace vectoriel appelé espace dual de $E$ et noté $E^{*}$.

• Dualité en dimension finie. L’application canonique $E\to E^{**}$, $x\mapsto(\varphi\mapsto\varphi(x))$, est injective en toute généralité et bijective en dimension finie : l’espace s’identifie naturellement à son bidual. En revanche l’isomorphisme $E\simeq E^{*}$ existe mais n’est pas canonique car il dépend du choix d’une base, ou d’un produit scalaire. C’est pourquoi on distingue soigneusement vecteurs et formes, colonnes et lignes.
• Contre-exemple à une confusion. Une forme linéaire n’est pas une forme bilinéaire ni une forme quadratique : elle est linéaire en une seule variable et à valeurs scalaires. Ainsi $x\mapsto x_1$ est une forme linéaire sur $K^{n}$, tandis que $x\mapsto x_1^{2}$ n’en est pas une.