Hyperplan linéaire

Définition intuitive

Un hyperplan linéaire, ou plus simplement hyperplan, est un sous-espace vectoriel qui a une dimension de moins que l’espace ambient.
Par exemple, en 3D, un hyperplan est simplement un plan, alors qu’en 2D c’est une droite.

Définition formelle

Un sous-espace vectoriel $H$ de $E$ est un hyperplan s’il possède un supplémentaire de dimension $1$. On dit alors que $H$ est de codimension $1$ dans $E$.

Plus précisément, $H$ est un hyperplan dans l’espace vectoriel $E$ s’il existe une droite vectorielle $D$ de $E$ supplémentaire à $H$.

Dans ce cas, $E$ admet la décomposition en somme directe $E = H\oplus D$.

Remarques

$\bullet$ En utilisant le concept d'espace engendré par une famille de vecteurs une droite vectorielle $D$ de $E$ s’écrit comme le sous-espace vectoriel engendré par un vecteur non nul $u$ de $E$, ceci se note $D = \text{Vect}(u)$.

De plus, si on veut préciser le corps de base $\mathbb{K}$ du $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$, la droite vectorielle $D$ se note $D = \text{Vect}_{\mathbb{K}}(u)$ ou $D = \mathbb{K}u$.

$\bullet$ La notion d’hyperplan est très liée aux systèmes linéaires et donc aux applications linéaires. En effet, tout hyperplan d’un espace vectoriel $E$ est le noyau d’une forme linéaire non nulle de $E$. Et cela a lieu même si $E$ est un espace vectoriel de dimension infinie.

La première remarque nous amène à la définition suivante.

Autre définition

Un sous-espace vectoriel $F$ est un hyperplan de $E$ s’il existe un vecteur non nul $u\in E$ tel que $E = F\oplus\text{Vect}(u)$.

Exemples

$\bullet$ La droite vectorielle $D = \R\left(\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right)=\left\{\left(\begin{array}{l}x\\0\end{array}\right), x\in\R\right\}$ est un hyperplan de $\R^{2}$.

$\bullet$ Le plan vectoriel $P_{1} = \text{Vect}\left(\left(\begin{array}{l}1\\0\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0\\1\\0\end{array}\right)\right)$ est un hyperplan de $\R^{3}$.

$\bullet$ Le plan vectoriel $P_{2} = \text{Vect}\left(\left(\begin{array}{l}1\\1\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0\\1\\1\end{array}\right)\right)$ est aussi un hyperplan de $\R^{3}$.

$\bullet$ L’ensemble des solutions du système linéaire suivant d’inconnues $x,y$ et $z$ des réels est un hyperplan de $\R^{3}$ : $\left\lbrace\begin{array}{l}2x+y+z = 0\\-x+y-z=0\end{array}\right.$.

$\bullet$ Soit $E$ l’espace vectoriel des fonctions $f$ de $\R$ dans $\R$ de la forme $f : x\mapsto ax+b$ avec $(a,b)\in\R^{2}$. Alors l’ensemble $F$ des fonctions $f\in E$ telles que $f(2) = 0$ est un hyperplan de $E$.