Espace engendré par une famille de vecteurs

Définition

Un espace engendré par une famille de vecteurs $\mathcal{F}=(u_{i})_{i\in I}$ du $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ ($I$ est un ensemble d’indices pas nécessairement fini) est défini comme l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires formées avec des vecteurs de la famille $\mathcal{F}$. Il est noté $\text{Vect}(\mathcal{F})$.

On a aussi la définition ensembliste suivante :
$\text{Vect}(\mathcal{F}) = \left\lbrace u\in E\,\mid\, \exists p\in\N, \exists(i_{1},\ldots,i_{p})\in I^{p}, \exists(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{p})\in\mathbb{K}^{p},\; u = \lambda_{1}u_{i_{1}}+\lambda_{2}u_{i_{2}}+\ldots+\lambda_{p}u_{i_{p}} \right\rbrace$.

Si $\mathcal{F} = (u_{i})_{1\leq i\leq n}$ est une famille $\text{\underline{finie}}$ de $n$ vecteurs de $E$ alors on a plus simplement :
$\text{Vect}(\mathcal{F}) = \left\lbrace u = \lambda_{1}u_{1}+\lambda_{2}u_{2}+\ldots+\lambda_{n}u_{n}\,\mid\, (\lambda_{i})_{1\leq i\leq n}\in\mathbb{K}^{n}\right\rbrace$.

Par convention, on pose $\text{Vect}(\varnothing) = \{0\}$.

Remarques

$\bullet$ L’élément $0$ est toujours dans $\text{Vect}(\mathcal{F})$. Il suffit de considérer le cas $p=0$ dans la définition ensembliste pour obtenir une somme vide. Au passage, cela montre que la convention $\text{Vect}(\varnothing) = \{0\}$ est compatible avec cette définition.

$\bullet$ Pour préciser le corps $\mathbb K$ avec lequel on forme les coefficients des combinaisons linéaires dans le $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$, l’ensemble $\text{Vect}(\mathcal F)$ se note $\text{Vect}_{\mathbb K}(\mathcal F)$.

$\bullet$ L’ensemble $\text{Vect}(\mathcal F)$ est toujours un sous-ensemble de $E$ pour $\mathcal F$ une famille de vecteurs de $E$. C’est même un sous-espace vectoriel de $E$ comme le montre le théorème suivant.

Théorème

Soit $\mathcal{F}=(u_{i})_{i\in I}$ une famille de vecteurs d’un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$.
L’ensemble $\text{Vect}(\mathcal F)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Preuve. Voir la preuve dans l’exercice "Théorème : espace engendré et espace vectoriel".

Suite à ce théorème, on dit que $\text{Vect}(\mathcal F)$ est le sous-espace vectoriel engendré par la famille de vecteurs $\mathcal F$ de $E$ ou le $\mathbb K$-espace vectoriel engendré par $\mathcal F$ ou encore le $\mathbb K$-sous-espace vectoriel engendré par $\mathcal F$.

Remarques

L’ensemble $\text{Vect}(\mathcal F)$ correpond au plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $\mathcal F$, voir l’exercice "Plus petit sous-espace vectoriel engendré par une partie" ci-dessous.

Exemples

$\bullet$ Le $\R$-espace vectoriel engendré par $\left(\begin{array}{l}0\\1\end{array}\right)\in\R^{2}$ est $\R\left(\begin{array}{l}0\\1\end{array}\right) = \left\lbrace \lambda\left(\begin{array}{l}0\\1\end{array}\right)\,\mid\, \lambda\in\R\right\rbrace$.

$\bullet$ Le $\R$-espace vectoriel engendré par $i\in\mathbb{C}$, l'unité imaginaire, est l’ensemble $\R i$ des imaginaires purs.

$\bullet$ Le $\mathbb C$-espace vectoriel engendré par $1\in\mathbb{C}$ est $\mathbb{C}$.

$\bullet$ Le $\R$-espace vectoriel engendré par $\left(\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{l}0\\1\end{array}\right)$ dans $\R^{2}$ est $\R^{2}$.

$\bullet$ Le $\R$-espace vectoriel engendré par $1$ et $X$ dans $\R[X]$ est $\R_{1}[X]$ l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égale à un.