Espace engendré et extension de corps

Soit $\mathbb K$ un corps et $\mathbb L$ une extension^EN du corps $\mathbb K$ . On pose $E$ un $\mathbb L$ -espace vectoriel et $\mathcal F$ une famille de vecteurs de $E$ . Les éléments de $\mathbb L$ sont appelés les scalaires de $E$ .

Montrer que $\text{Vect}_{\mathbb K}(\mathcal F)\subset\text{Vect}_{\mathbb L}(\mathcal F)$ pour les différents espaces engendrés par $\mathcal F$ .

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Solution by Ulysse85

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On rappelle que $\text{Vect}_{\mathbb L}(\mathcal F)$ est l’ensemble des combinaisons linéaires à coefficients dans le corps $\mathbb L$ formées avec des vecteurs de $\mathcal F$ .

Or $\mathbb L/\mathbb K$ est une extension de corps donc $\mathbb K\subset\mathbb L$ .

Par conséquent une combinaison linéaire à coefficients dans le corps $\mathbb K$ de vecteurs de $\mathcal F$ est une combinaison linéaire à coefficient dans le corps $\mathbb L$ de vecteurs de $\mathcal F$ .

On conclut que $\text{Vect}_{\mathbb K}(\mathcal F)\subset \text{Vect}_{\mathbb L}(\mathcal F)$ .

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Un espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs est de dimension plus grande vu en tant qu'un espace vectoriel à scalaires dans un sous-corps.

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