Base télescopique dans les espaces vectoriels

1. Comme $\mathbb K\subset\mathbb L$ il suffit de se restreindre aux éléments du corps $\mathbb K$ dans le corps $\mathbb L$ pour les scalaires du $\mathbb L$-espace vectoriel $E$. En effet, $E$ est un $\mathbb L$-espace vectoriel donc on a déjà les deux opérations suivantes :

$\bullet$ L’addition $+ : E\times E\rightarrow E$,
$\bullet$ La multiplication externe $\cdot : \mathbb L\times E\rightarrow E$.

Et $E$ est muni d’une structure de $\mathbb K$-espace vectoriel avec les deux opérations suivantes :

$\bullet$ L’addition $+ : E\times E\rightarrow E$ qui est la même que l’opération d’addition précédente.
$\bullet$ La multiplication externe $\cdot : \mathbb K\times E\rightarrow E$ qui est la restriction à $\mathbb K\times E$ de l’opération de multiplication externe précédente.

On remarque que l’élément neutre multiplicatif $1_{\mathbb L}$ de $\mathbb L$ est le même que l’élément neutre multiplicatif $1_{\mathbb K}$ de $\mathbb K$ puisque $1_{\mathbb L} = 1_{\mathbb L}1_{\mathbb K} = 1_{\mathbb K}$. De même on a $0_{\mathbb L} = 0_{\mathbb K}$ pour les éléments neutres additifs des différents corps. Ainsi, les propriétés de $\mathbb K$-espace vectoriel ($(E,+)$ est un groupe abélien, distributivité de l’addition vectorielle, ...) sont vérifiées puisque $\mathbb K\subset\mathbb L$.

On en déduit que le $\mathbb L$-espace vectoriel $E$ est muni d’une structure de $\mathbb K$-espace vectoriel.

2. Le $\mathbb L$-espace vectoriel $E$ est de dimension $n$, on pose $\mathcal B = \left(e_{i}\right)_{1\leq i\leq n}$ une base de $E$ d’où $E = \text{Vect}_{\mathbb L}(\mathcal B)$. Comme $\mathbb L/\mathbb K$ est une extension alors $\mathbb L$ a une structure de $\mathbb K$-espace vectoriel. Cette extension est finie de degré $d\geq 1$ donc $\mathbb L$ admet une base $\mathcal C = \left(\alpha_{i}\right)_{1\leq i\leq d}$ de $d$ éléments et $\mathbb L = \text{Vect}_{\mathbb K}(\mathcal C)$.

Soit $x\in E$ alors il existe $(\lambda_{i})_{1\leq i\leq n}$ des éléments de $\mathbb L$ tels que $x = \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}e_{i}$ (décomposition dans la base $\mathcal B$ de $x$).
Or pour chaque $i\in\{1,\ldots,n\}$ on a $\lambda_{i}\in\mathbb L$ donc il existe $(\mu_{i,j})_{1\leq j\leq d}$ des éléments de $\mathbb K$ tels que $\lambda_{i} = \sum_{j=1}^{d}\mu_{i,j}\alpha_{j}$ (décomposition dans la base $\mathcal C$ de $\lambda_{i}$). Par conséquent, $x$ admet la décomposition suivante :

$x = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{d}\mu_{i,j}\alpha_{j}e_{i} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{d}\mu_{i,j}(\alpha_{j}e_{i})$.

On remarque que la famille $\mathcal G = (\alpha_{j}e_{i})$ $1\leq i\leq n$, $1\leq j\leq d$ est $\underline{\text{génératrice}}$ du $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ donc $\dim_{\mathbb K}(E)\leq nd$.

On montre que cette famille $\mathcal G$ est libre dans le $\mathbb K$-espace vectoriel $E$.
Soit $\left(\mu_{i,j}\right)$ des éléments de $\mathbb K$ tels que : $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{d}\mu_{i,j}\alpha_{j}e_{i} = 0$. On montre que $\mu_{i,j} = 0$ pour tout $i,j$.

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{d}\mu_{i,j}\alpha_{j}e_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{d}\mu_{i,j}\alpha_{j}\right)e_{i}$ donc $\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{d}\mu_{i,j}\alpha_{j}\right)e_{i} = 0$.

Comme $\mathcal B$ est une base du $\mathbb L$-espace vectoriel $E$ alors pour chaque $i$ on a $\sum_{j=1}^{d}\mu_{i,j}\alpha_{j} = 0$.
Or $\mathcal C$ est une base du $\mathbb K$-espace vectoriel $\mathbb L$ donc on obtient $\mu_{i,j} = 0$ pour tout $i,j$. On conclut que la famille $\mathcal G$ est $\underline{\text{libre}}$ dans le $\mathbb K$-espace vectoriel $E$.

Ainsi $\mathcal G$ est une base du $\mathbb K$-espace vectoriel $E$. cette base est de cardinal $nd$ donc la dimension du $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ est $nd = \dim_{\mathbb L}(E)\left[\mathbb L:\mathbb K\right]$.