Dimension d’un espace vectoriel

Définition intuitive

La dimension compte le nombre de degrés de liberté d’un espace : combien de scalaires faut-il pour repérer un vecteur. Une droite en demande un, un plan deux, l’espace usuel trois. La difficulté conceptuelle est qu’il existe une infinité de bases, et rien ne garantit a priori qu’elles aient toutes le même nombre d’éléments. C’est pourtant le cas.

Définition formelle

Théorème (invariance). Si $E$ admet une base à $n$ éléments, alors toutes les bases de $E$ ont exactement $n$ éléments.

Preuve. Elle repose sur le lemme suivant : dans un espace engendré par $n$ vecteurs, toute famille de $n+1$ vecteurs est liée, ce qui s’établit par récurrence sur $n$, en éliminant une coordonnée à la manière du pivot de Gauss. Si $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ sont deux bases de cardinaux $n$ et $m$, alors $\mathcal{B}'$ est libre dans un espace engendré par $n$ vecteurs, d’où $m\leqslant n$ ; en échangeant les rôles, $n\leqslant m$. $\square$

Cet entier commun est la dimension de $E$, notée $\dim_{\mathbb{K}}E$ ou $\dim E$. Par convention $\dim\{0\}=0$, l’espace nul admettant la famille vide pour base. Un espace est dit de dimension finie s’il admet une famille génératrice finie.

Propriétés fondamentales. Pour $E$ de dimension finie et $F,G$ des sous-espaces :
$$F\subseteq E\ \Longrightarrow\ \dim F\leqslant\dim E,\quad\text{avec égalité si et seulement si } F=E ;$$$$\dim(F+G)+\dim(F\cap G)=\dim F+\dim G\qquad\textbf{(formule de Grassmann)} ;$$$$\dim(E\times F)=\dim E+\dim F,\qquad \dim\mathcal{L}(E,F)=\dim E\cdot\dim F .$$

Théorème du rang. Pour $u\in\mathcal{L}(E,F)$ avec $E$ de dimension finie,
$$\dim E=\dim\ker u+\operatorname{rg}u,\qquad \operatorname{rg}u:=\dim\operatorname{Im}u .$$

Remarques

• Classification. Deux $\mathbb{K}$-espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement s’ils ont même dimension. La dimension est donc un invariant complet : sur un corps fixé, il n’y a qu’un espace de dimension $n$ à isomorphisme près, à savoir $\mathbb{K}^{n}$.
• Le cas particulier des endomorphismes. Si $\dim E=\dim F$ est finie et $u\in\mathcal{L}(E,F)$, alors $u$ injective $\iff$ $u$ surjective $\iff$ $u$ bijective. C’est une conséquence directe du théorème du rang, et c’est faux en dimension infinie : le décalage $(u_0,u_1,\dots)\mapsto(0,u_0,u_1,\dots)$ sur $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ est injectif sans être surjectif.
• Dépendance au corps de base. La dimension n’a de sens que relativement à $\mathbb{K}$ : $\mathbb{C}$ est de dimension $1$ sur $\mathbb{C}$, de dimension $2$ sur $\mathbb{R}$, et de dimension infinie sur $\mathbb{Q}$. La formule générale pour deux corps $\mathbb{K}\subseteq\mathbb{L}$ et $E$ un $\mathbb{L}$-espace est $\dim_{\mathbb{K}}E=[\mathbb{L}:\mathbb{K}]\cdot\dim_{\mathbb{L}}E$.
• Grassmann n’a pas d’analogue ternaire. La formule pour trois sous-espaces est fausse : dans $\mathbb{R}^{2}$, trois droites distinctes vérifient $\dim(F+G+H)=2$ et toutes les intersections deux à deux sont nulles, ce qui ferait $2+0=3\cdot 1$, absurde. Il n’existe pas de formule d’inclusion-exclusion pour les dimensions.

Exemples

1. $\dim_{\mathbb{K}}\mathbb{K}^{n}=n$, $\dim_{\mathbb{K}}\mathbb{K}_n[X]=n+1$, $\dim_{\mathbb{K}}\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})=pq$.
2. Sous-espaces classiques. Dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, les matrices symétriques forment un sous-espace de dimension $\frac{n(n+1)}{2}$ et les antisymétriques un sous-espace de dimension $\frac{n(n-1)}{2}$ ; leur somme vaut $n^{2}$, conformément à la décomposition $\mathcal{M}_n=\mathcal{S}_n\oplus\mathcal{A}_n$ en caractéristique $\neq 2$.
3. Hyperplans. Un sous-espace de dimension $n-1$ dans un espace de dimension $n$ est exactement le noyau d’une forme linéaire non nulle, unique à un scalaire près.
4. Équations différentielles. L’espace des solutions de $y''+ay'+by=0$ sur $\mathbb{R}$ est de dimension $2$, une base étant donnée par deux solutions indépendantes, c’est le théorème de Cauchy linéaire qui garantit cette dimension.