Entre trace et déterminant

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n>0$ et $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$ .

On considère un $n$ -uplet $(v_1,\dots,v_n)$ d’éléments de $E$ et $f\in\mathcal{L}(E)$ , montrer que:
$\sum_{i=1}^n \det_{\mathcal{B}}(v_1,\dots,v_{i-1},f(v_i),v_{i+1},\dots,v_n)=\mathrm{Tr}(f)\cdot \det_{\mathcal{B}}(v_1,\dots,v_n).$ où $\det_{\mathcal{B}}$ est le déterminant dans la base $\mathcal{B}$ et $\mathrm{Tr}$ est la trace.

I solved itMark it done Add to my listKeep it in your list

I like this problem0 likes

Hints

Hint 1

Open this only if you want a small nudge before looking at the solutions.

Solutions

Reveal solutionsAre you sure? Give it a try first.

Solution by Sequoia

Discussions0 useful votes

La fonction de l’indication est bien $n$ -linéaire car elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables. Aussi elle est alternée car inverser $v_1$ et $v_2$ (le raisonnement sera le même pour $v_i$ et $v_j, i\neq j$ ) nous rajoute un $-1$ pour tous les termes d’indice $i\geqslant 3$ de la somme (ces derniers ne dépendant pas de $f$ , on ne fait qu’utiliser les propriétés du déterminant), et les deux premiers termes vont s’échanger. En effet, on trouve:
$\det_{\mathcal{B}}(f(v_2),v_1,\dots,v_n)+\det_{\mathcal{B}}(v_2,f(v_1),\dots,v_n)=-\det_{\mathcal{B}}(v_1,f(v_2),\dots,v_n)-\det_{\mathcal{B}}(f(v_1),v_2,\dots,v_n)$ Ce qui est exactement ce qu’on avait avant d’avoir inversé $v_1$ et $v_2$ au signe près, donc on est bon !

Ainsi cette forme se doit d’être proportionnelle à la fonction $\det_{\mathcal{B}}$ , base de l’ensemble des formes $n$ -linéaires alternées en dimension $n$ . Le coefficient de proportionnalité pouvant se trouver en considérant $(v_1,\dots,v_n)=(e_1,\dots,e_n)$ et en prenant $f(e_j):=\sum_{i=1}^na_{i,j}e_i$ .

On trouve alors que le coefficient de proportionnalité est la somme des $a_{i,i}$ , soit la trace de $f$ .

Report