Entre trace et déterminant

La fonction de l’indication est bien $n$-linéaire car elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables. Aussi elle est alternée car inverser $v_1$ et $v_2$ (le raisonnement sera le même pour $v_i$ et $v_j, i\neq j$) nous rajoute un $-1$ pour tous les termes d’indice $i\geqslant 3$ de la somme (ces derniers ne dépendant pas de $f$, on ne fait qu’utiliser les propriétés du déterminant), et les deux premiers termes vont s’échanger. En effet, on trouve:
$$\det_{\mathcal{B}}(f(v_2),v_1,\dots,v_n)+\det_{\mathcal{B}}(v_2,f(v_1),\dots,v_n)=-\det_{\mathcal{B}}(v_1,f(v_2),\dots,v_n)-\det_{\mathcal{B}}(f(v_1),v_2,\dots,v_n)$$Ce qui est exactement ce qu’on avait avant d’avoir inversé $v_1$ et $v_2$ au signe près, donc on est bon !

Ainsi cette forme se doit d’être proportionnelle à la fonction $\det_{\mathcal{B}}$, base de l’ensemble des formes $n$-linéaires alternées en dimension $n$. Le coefficient de proportionnalité pouvant se trouver en considérant $(v_1,\dots,v_n)=(e_1,\dots,e_n)$ et en prenant $f(e_j):=\sum_{i=1}^na_{i,j}e_i$.

On trouve alors que le coefficient de proportionnalité est la somme des $a_{i,i}$, soit la trace de $f$.