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La discussion sur les sous-corps a été retirée, ajout d'un exercice pour démontrer le théorème

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Remplacement du pas très joli \emptyset (un genre de zéro barré) par l'élégant \varnothing (∅), couramment employé en France pour l'ensemble vide

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Ajout du lien "combinaisons linéaires" et de l'exercice "Plus petit sous-espace vectoriel engendré par une partie"

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#### Définition

Un espace engendré par une famille de vecteurs $\mathcal{F}=(u_{i})_{i\in I}$ du $\mathbb{K}$-[[Espace vectoriel|espace vectoriel]] $E$ ($I$ est un ensemble d'indices pas nécessairement fini) est défini comme l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires formées avec des vecteurs de la famille $\mathcal{F}$. Il est noté $\text{Vect}(\mathcal{F})$.

On a aussi la définition ensembliste suivante : 
$\text{Vect}(\mathcal{F}) = \left\lbrace u\in E\,\mid\, \exists p\in\N, \exists(i_{1},\ldots,i_{p})\in I^{p}, \exists(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{p})\in\mathbb{K}^{p},\; u = \lambda_{1}u_{i_{1}}+\lambda_{2}u_{i_{2}}+\ldots+\lambda_{p}u_{i_{p}} \right\rbrace$.

Si $\mathcal{F} = (u_{i})_{1\leq i\leq n}$ est une famille $\text{\underline{finie}}$ de $n$ vecteurs de $E$ alors on a plus simplement :
$\text{Vect}(\mathcal{F}) = \left\lbrace u = \lambda_{1}u_{1}+\lambda_{2}u_{2}+\ldots+\lambda_{n}u_{n}\,\mid\, (\lambda_{i})_{1\leq i\leq n}\in\mathbb{K}^{n}\right\rbrace$.

Par convention, on pose $\text{Vect}(\emptyset) = \{0\}$.

#### Remarques

$\bullet$ L'élément $0$ est toujours dans $\text{Vect}(\mathcal{F})$. Il suffit de considérer le cas $p=0$ dans la définition ensembliste pour obtenir une somme vide. Au passage, cela montre que la convention $\text{Vect}(\emptyset) = \{0\}$ est compatible avec cette définition.

$\bullet$ Pour préciser le [[Corps|corps]] $\mathbb K$ avec lequel on forme les coefficients des combinaisons linéaires, l'ensemble $\text{Vect}(\mathcal F)$ se note $\text{Vect}_{\mathbb K}(\mathcal F)$.

$\bullet$ Il est possible de prendre uniquement des combinaisons linéaires à coefficients dans un sous-[[Corps|corps]] $\mathbb L$ de $\mathbb K$.  Dans ce cas, on note $\text{Vect}_{\mathbb L}(\mathcal F)$ l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients dans le corps $\mathbb L$ formées avec des vecteurs de la famille $\mathcal F$.

$\bullet$ L'ensemble $\text{Vect}(\mathcal F)$ est toujours un sous-ensemble de $E$ pour $\mathcal F$ une famille de vecteurs de $E$. C'est même un sous-espace vectoriel de $E$ comme le montre le théorème suivant.

### Théorème

Soit $\mathcal{F}=(u_{i})_{i\in I}$ une famille de vecteurs d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$. 
L'ensemble $\text{Vect}(\mathcal F)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

:::fold Preuve
Par convention une somme vide d'éléments de $E$ est dans $\text{Vect}(\mathcal F)$ donc $0\in\text{Vect}(\mathcal F)$ et $\text{Vect}(\mathcal F)$ est un ensemble non vide. C'est la première remarque.

On montre que pour tout $\lambda\in\mathbb{K}$ et tout $(u,v)\in\left(\text{Vect}(\mathcal F)\right)^{2}$, $\lambda u+v\in\text{Vect}(\mathcal F)$.

Par définition $u$ s'écrit $u = \lambda_{1}u_{i_{1}}+\lambda_{2}u_{i_{2}}+\ldots+\lambda_{p}u_{i_{p}}$ avec $p\in\N, (i_{1},\ldots,i_{p})\in I^{p}$, $(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{p})\in\mathbb{K}^{p}$,
de même $v$ s'écrit $v = \mu_{1}u_{j_{1}}+\mu_{2}u_{j_{2}}+\ldots+\mu_{q}u_{j_{q}}$ avec $q\in\N, (j_{1},\ldots,j_{q})\in I^{q}, (\mu_{1},\ldots,\mu_{q})\in\mathbb{K}^{q}$.

On pose $C = \{i_{1},\ldots,i_{p}\}\cap \{j_{1},\ldots,j_{q}\} = \{i_{m_{1}},\ldots,i_{m_{r}}\} = \{j_{n_{1}},\ldots,j_{n_{r}}\}$ où $i_{m_{1}} = j_{n_{1}}=k_{1},\ldots, i_{m_{r}} = j_{n_{r}}=k_{r}$ l'ensemble des indices communs aux ensembles d'indices $\{i_{1},\ldots,i_{p}\}$ et $\{j_{1},\ldots,j_{q}\}$. Puis $I_{1} = \{i_{1},\ldots,i_{p}\}\setminus{C} = \{i_{k_{1}},\ldots,i_{k_{p'}}\}$ et $I_{2} = \{j_{1},\ldots,j_{q}\}\setminus{C} = \{j_{l_{1}},\ldots,j_{l_{q'}}\}$ les ensembles d'indices respectifs $\{i_{1},\ldots,i_{p}\}$ et $\{j_{1},\ldots,j_{q}\}$ sans leurs parties communes $C$. Alors $\lambda u+v$ se réécrit de la façon suivante : 

$\lambda u+v = \lambda\lambda_{k_{1}}u_{i_{k_{1}}}+\lambda\lambda_{k_{2}}u_{i_{k_{2}}}+\ldots+\lambda\lambda_{k_{p'}}u_{i_{k_{p'}}}\, +\,$$\bf (1)$
            $\mu_{l_{1}}u_{j_{l_{1}}}+\mu_{l_{2}}u_{j_{l_{2}}}+\ldots+\mu_{l_{q'}}u_{j_{l_{q'}}}\,+\,$$\bf (2)$
            $(\lambda\lambda_{m_{1}}+\mu_{n_{1}})u_{k_{1}}+(\lambda\lambda_{m_{2}}+\mu_{n_{2}})u_{k_{2}}+\ldots+(\lambda\lambda_{m_{r}}+\mu_{n_{r}})u_{k_{r}}$$\bf (3)$.

La partie $\bf (1)$ correspond uniquement à des vecteurs constituant $u$, la partie $\bf (2)$ correspond uniquement à des vecteurs constituant $v$ et la partie $\bf (3)$ correpond aux vecteurs communs constituant $u$ et $v$.

On a bien écrit $\lambda u+v$ comme une somme finie de vecteurs de la famille $\text{Vect}(\mathcal{F})$ donc $\lambda u + v\in\text{Vect}(\mathcal F)$. On en déduit que $\text{Vect}(\mathcal F)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
:::

Suite à ce théorème, on dit que $\text{Vect}(\mathcal F)$ est le sous-espace vectoriel engendré par la famille de vecteurs $\mathcal F$ de $E$.

#### Exemples

$\bullet$ Le $\R$-espace vectoriel engendré par $\left(\begin{array}{l}0\\1\end{array}\right)\in\R^{2}$ est $\R\left(\begin{array}{l}0\\1\end{array}\right) = \left\lbrace \lambda\left(\begin{array}{l}0\\1\end{array}\right)\,\mid\, \lambda\in\R\right\rbrace$.

$\bullet$ Le $\R$-espace vectoriel engendré par $i\in\mathbb{C}$, avec $i^{2}=-1$, est l'ensemble $\R i$ des [[Imaginaire pur|imaginaires purs]].

$\bullet$ Le $\mathbb C$-espace vectoriel engendré par $1\in\mathbb{C}$ est $\mathbb{C}$.

$\bullet$ Le $\R$-espace vectoriel engendré par $\left(\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{l}0\\1\end{array}\right)$ dans $\R^{2}$ est $\R^{2}$.

$\bullet$ Le $\R$-espace vectoriel engendré par $1$ et $X$ dans $\R[X]$ est $\R_{1}[X]$ l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égale à un.