Plus petit sous-espace vectoriel engendré par une partie

$\ast$ L’ensemble $\text{Vect}(\mathcal F)$ contient $\mathcal F$ car tout vecteur de $\mathcal F$ s’écrit comme une combinaison linéaire de vecteurs de $\mathcal F$. De plus, $\text{Vect}(\mathcal F)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ d’après le théorème du concept "Espace engendré par une famille de vecteurs". Donc $\text{Vect}(\mathcal F)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $\mathcal F$.

Montrons que c’est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $\mathcal F$.
Soit $G$ un autre sous-espace vectoriel de $E$ contenant $\mathcal F$ alors il suffit de montrer que $\text{Vect}(\mathcal F)\subset G$.

Or comme $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$, il contient toute combinaison linéaire de ses vecteurs. En particulier $G$ contient toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de la partie $\mathcal F$. Par définition l’ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de $\mathcal F$ est l’espace engendré $\text{Vect}(\mathcal F)$ donc $\text{Vect}(\mathcal F)\subset G$.

$\ast$ La première partie de la preuve montre que l’intersection de tous les sous-espaces vectoriel de $E$ contenant $\mathcal F$ est incluse dans $\text{Vect}(\mathcal F)$ puisque $\text{Vect}(\mathcal F)$ est lui-même un élément de cette intersection.

Ensuite $\mathcal F$ est contenu dans l’intersection de tous les sous-espaces vectoriel de $E$ contenant $\mathcal F$ car tous les éléments de cette intersection est un espace vectoriel contenant $\mathcal F$. Pour appliquer la seconde partie de la preuve, i.e. $\text{Vect}(\mathcal F)$ est minimal pour l’inclusion dans l’ensemble des sous-espaces vectoriel de $E$ contenant $\mathcal F$, il faut montrer qu’une intersection de sous-espaces vectoriel de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Soit $(E_{i})_{i\in I}$ une famille quelconque de sous-espaces vectoriel de E et $S = \cap_{i\in I}E_{i}$ leur intersection, on montre que $S$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
$\bullet$ On a déjà $0\in S$ car pour tout $i\in I$, $0\in E_{i}$ donc $S$ est non vide.
$\bullet$ Soient $\lambda\in\mathbb K$ et $(u,v)\in S^{2}$ alors pour tout $i\in I$, on a $(u,v)\in E_{i}^{2}$. Comme $E_{i}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ alors $\lambda u+v\in E_{i}$ pour chaque $i\in I$. On en déduit que $\lambda u+v\in S$.
On conclut que $S$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

On en déduit que l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de $E$ contenant $\mathcal F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $\mathcal F$. Or comme $\text{Vect}(\mathcal F)$ est minimal pour l’inclusion parmi les sous-espaces vectoriel de $E$ contenant $\mathcal F$ alors l’intersection de ses sous-espaces vectoriel de $E$ contient $\text{Vect}(\mathcal F)$ d’où le résultat par double inclusion.