Théorème : Espace engendré et espace vectoriel

Par convention une somme vide d’éléments de $E$ est dans $\text{Vect}(\mathcal F)$ donc $0\in\text{Vect}(\mathcal F)$ et $\text{Vect}(\mathcal F)$ est un ensemble non vide. C’est la première remarque.

On montre que pour tout $\lambda\in\mathbb{K}$ et tout $(u,v)\in\left(\text{Vect}(\mathcal F)\right)^{2}$, $\lambda u+v\in\text{Vect}(\mathcal F)$.

Par définition $u$ s’écrit $u = \lambda_{1}u_{i_{1}}+\lambda_{2}u_{i_{2}}+\ldots+\lambda_{p}u_{i_{p}}$ avec $p\in\N, (i_{1},\ldots,i_{p})\in I^{p}$, $(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{p})\in\mathbb{K}^{p}$, de même $v$ s’écrit $v = \mu_{1}u_{j_{1}}+\mu_{2}u_{j_{2}}+\ldots+\mu_{q}u_{j_{q}}$ avec $q\in\N, (j_{1},\ldots,j_{q})\in I^{q}, (\mu_{1},\ldots,\mu_{q})\in\mathbb{K}^{q}$.

On pose $C = \{i_{1},\ldots,i_{p}\}\cap \{j_{1},\ldots,j_{q}\} = \{i_{m_{1}},\ldots,i_{m_{r}}\} = \{j_{n_{1}},\ldots,j_{n_{r}}\}$ où $i_{m_{1}} = j_{n_{1}}=k_{1},\ldots, i_{m_{r}} = j_{n_{r}}=k_{r}$ l’ensemble des indices communs aux ensembles d’indices $\{i_{1},\ldots,i_{p}\}$ et $\{j_{1},\ldots,j_{q}\}$. Puis $I_{1} = \{i_{1},\ldots,i_{p}\}\setminus{C} = \{i_{k_{1}},\ldots,i_{k_{p'}}\}$ et $I_{2} = \{j_{1},\ldots,j_{q}\}\setminus{C} = \{j_{l_{1}},\ldots,j_{l_{q'}}\}$ les ensembles d’indices respectifs $\{i_{1},\ldots,i_{p}\}$ et $\{j_{1},\ldots,j_{q}\}$ sans leurs parties communes $C$. Alors $\lambda u+v$ se réécrit de la façon suivante :

$\lambda u+v = \lambda\lambda_{k_{1}}u_{i_{k_{1}}}+\lambda\lambda_{k_{2}}u_{i_{k_{2}}}+\ldots+\lambda\lambda_{k_{p'}}u_{i_{k_{p'}}}\, +\,$$\bf (1)$
$\mu_{l_{1}}u_{j_{l_{1}}}+\mu_{l_{2}}u_{j_{l_{2}}}+\ldots+\mu_{l_{q'}}u_{j_{l_{q'}}}\,+\,$$\bf (2)$
$(\lambda\lambda_{m_{1}}+\mu_{n_{1}})u_{k_{1}}+(\lambda\lambda_{m_{2}}+\mu_{n_{2}})u_{k_{2}}+\ldots+(\lambda\lambda_{m_{r}}+\mu_{n_{r}})u_{k_{r}}$$\bf (3)$.

La partie $\bf (1)$ correspond uniquement à des vecteurs constituant $u$, la partie $\bf (2)$ correspond uniquement à des vecteurs constituant $v$ et la partie $\bf (3)$ correpond aux vecteurs communs constituant $u$ et $v$.

On a bien écrit $\lambda u+v$ comme une somme finie de vecteurs de la famille $\text{Vect}(\mathcal{F})$ donc $\lambda u + v\in\text{Vect}(\mathcal F)$. On en déduit que $\text{Vect}(\mathcal F)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.