Ivan Shishkin, Birch Grove

Hyperplan

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Revision 3819

9/4/2026, 4:30:25 PM · SalixBabylonica

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Revision 3800

9/4/2026, 12:07:37 PM · Ulysse85

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1##### Définition intuitive
2
3Un hyperplan est un sous-espace vectoriel strict de taille maximale. Par exemple, en 3D, un hyperplan est simplement un plan, alors qu'en 2D c'est une droite !
4
5##### Définition formelle
6
7Un sous-espace vectoriel $H$ de $E$ est un hyperplan s'il possède un [[supplémentaire|supplémentaire]] de dimension $1$. On dit alors que $H$ est de codimension $1$ dans $E$.
8
9Plus précisément, $H$ est un hyperplan dans l'espace vectoriel $E$ s'il existe une droite vectorielle $D$ de $E$ supplémentaire à $H$.
10
11Dans ce cas, $E$ admet la décomposition en [[somme directe|somme directe]] $E = H\oplus D$.
12
13#### Remarques
14
15$\bullet$ En utilisant le concept d'[[espace engendré|espace engendré]] par une famille de vecteurs une droite vectorielle $D$ de $E$ s'écrit comme le sous-espace vectoriel engendré par un vecteur non nul $u$ de $E$, ceci se note $D = \text{Vect}(u)$.
15$\bullet$ En utilisant le concept d'[[Espace engendré par une famille de vecteurs|espace engendré par une famille de vecteurs]] une droite vectorielle $D$ de $E$ s'écrit comme le sous-espace vectoriel engendré par un vecteur non nul $u$ de $E$, ceci se note $D = \text{Vect}(u)$.
16
17De plus, si on veut préciser le corps de base $\mathbb{K}$ du $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$, la droite vectorielle $D$ se note $D = \text{Vect}_{\mathbb{K}}(u)$ ou $D = \mathbb{K}u$.
18
19$\bullet$ La notion d'hyperplan est très liée aux systèmes linéaires et donc aux applications linéaires. En effet, tout hyperplan d'un espace vectoriel $E$ est le [[noyau|noyau]] d'une [[forme linéaire|forme linéaire]] _non nulle_ de $E$. Et cela a lieu même si $E$ est un espace vectoriel de dimension infinie.
20
21La première remarque nous amène à la définition suivante.
22
23#### Autre définition
24
25Un sous-espace vectoriel $F$ est un hyperplan de $E$ s'il existe un vecteur non nul $u\in E$ tel que $E = F\oplus\text{Vect}(u)$.
26
27#### Exemples
28
29$\bullet$ La droite vectorielle $D = \R\left(\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right)=\left\{\left(\begin{array}{l}x\\0\end{array}\right), x\in\R\right\}$ est un hyperplan de $\R^{2}$.
30
31$\bullet$ Le plan vectoriel $P_{1} = \text{Vect}\left(\left(\begin{array}{l}1\\0\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0\\1\\0\end{array}\right)\right)$ est un hyperplan de $\R^{3}$.
32
33$\bullet$ Le plan vectoriel $P_{2} = \text{Vect}\left(\left(\begin{array}{l}1\\1\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0\\1\\1\end{array}\right)\right)$ est aussi un hyperplan de $\R^{3}$.
34
35$\bullet$ L'ensemble des solutions du système linéaire suivant d'inconnues $x,y$ et $z$ des réels est un hyperplan de $\R^{3}$ : $\left\lbrace\begin{array}{l}2x+y+z = 0\\-x+y-z=0\end{array}\right.$.
36
37$\bullet$ Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions $f$ de $\R$ dans $\R$ de la forme $f : x\mapsto ax+b$ avec $(a,b)\in\R^{2}$. Alors l'ensemble $F$ des fonctions $f\in E$ telles que $f(2) = 0$ est un hyperplan de $E$.

Revision 3762

9/4/2026, 6:42:55 AM · quark67

2D, 3D en caractères droits (D n'est pas une variable mathématique ici) + correction taille des accolades

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Compare with revision 36816 changed lines
1##### Définition intuitive
2
3Un hyperplan est un sous-espace vectoriel strict de taille maximale. Par exemple, en $3D$, un hyperplan est simplement un plan, alors qu'en $2D$ c'est une droite !
3Un hyperplan est un sous-espace vectoriel strict de taille maximale. Par exemple, en 3D, un hyperplan est simplement un plan, alors qu'en 2D c'est une droite !
4
5##### Définition formelle
6
7Un sous-espace vectoriel $H$ de $E$ est un hyperplan s'il possède un [[supplémentaire|supplémentaire]] de dimension $1$. On dit alors que $H$ est de codimension $1$ dans $E$.
8
9Plus précisément, $H$ est un hyperplan dans l'espace vectoriel $E$ s'il existe une droite vectorielle $D$ de $E$ supplémentaire à $H$.
10
11Dans ce cas, $E$ admet la décomposition en [[somme directe|somme directe]] $E = H\oplus D$.
12
13#### Remarques
14
15$\bullet$ En utilisant le concept d'[[espace engendré|espace engendré]] par une famille de vecteurs une droite vectorielle $D$ de $E$ s'écrit comme le sous-espace vectoriel engendré par un vecteur non nul $u$ de $E$, ceci se note $D = \text{Vect}(u)$.
16
17De plus, si on veut préciser le corps de base $\mathbb{K}$ du $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$, la droite vectorielle $D$ se note $D = \text{Vect}_{\mathbb{K}}(u)$ ou $D = \mathbb{K}u$.
18
19$\bullet$ La notion d'hyperplan est très liée aux systèmes linéaires et donc aux applications linéaires. En effet, tout hyperplan d'un espace vectoriel $E$ est le [[noyau|noyau]] d'une [[forme linéaire|forme linéaire]] _non nulle_ de $E$. Et cela a lieu même si $E$ est un espace vectoriel de dimension infinie.
20
21La première remarque nous amène à la définition suivante.
22
23#### Autre Définition
23#### Autre définition
24
25Un sous-espace vectoriel $F$ est un hyperplan de $E$ s'il existe un vecteur non nul $u\in E$ tel que $E = F\oplus\text{Vect}(u)$.
26
27#### Exemples
28
29$\bullet$ La droite vectorielle $D = \R\left(\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right)=\{\left(\begin{array}{l}x\\0\end{array}\right), x\in\R\}$ est un hyperplan de $\R^{2}$.
29$\bullet$ La droite vectorielle $D = \R\left(\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right)=\left\{\left(\begin{array}{l}x\\0\end{array}\right), x\in\R\right\}$ est un hyperplan de $\R^{2}$.
30
31$\bullet$ Le plan vectoriel $P_{1} = \text{Vect}\left(\left(\begin{array}{l}1\\0\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0\\1\\0\end{array}\right)\right)$ est un hyperplan de $\R^{3}$.
32
33$\bullet$ Le plan vectoriel $P_{2} = \text{Vect}\left(\left(\begin{array}{l}1\\1\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0\\1\\1\end{array}\right)\right)$ est aussi un hyperplan de $\R^{3}$.
34
35$\bullet$ L'ensemble des solutions du système linéaire suivant d'inconnues $x,y$ et $z$ des réels est un hyperplan de $\R^{3}$ : $\left\lbrace\begin{array}{l}2x+y+z = 0\\-x+y-z=0\end{array}\right.$.
36
37$\bullet$ Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions $f$ de $\R$ dans $\R$ de la forme $f : x\mapsto ax+b$ avec $(a,b)\in\R^{2}$. Alors l'ensemble $F$ des fonctions $f\in E$ telles que $f(2) = 0$ est un hyperplan de $E$.

Revision 3681

9/3/2026, 12:24:31 PM · Sequoia

Concept reviewed

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Revision 3680

9/3/2026, 12:24:29 PM · Sequoia

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Revision 3679

9/3/2026, 12:24:24 PM · Sequoia

Updated text

Compare with revision 367815 changed lines
1##### Définition intuitive
2
3Soit $E$ un [[Corps|K]]-[[espace vectoriel]] de dimension $n\in \N$.
3Un hyperplan est un sous-espace vectoriel strict de taille maximale. Par exemple, en $3D$, un hyperplan est simplement un plan, alors qu'en $2D$ c'est une droite !
4Un hyperplan $H$ est un [[sous-espace vectoriel]] de dimension $n-1$ tel qu’il existe une droite vectorielle en somme directe qui permet de recréer $E$.
5
6Par exemple un plan 2D et une droite qui lui est perpendiculaire. Le plan 2D est donc un hyperplan d’un volume 3D.
7
8##### Définition formelle
9
10Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est un hyperplan s'il possède un [[supplémentaire|supplémentaire]] de dimension $1$. On dit alors que $F$ est de codimension $1$ dans $E$.
7Un sous-espace vectoriel $H$ de $E$ est un hyperplan s'il possède un [[supplémentaire|supplémentaire]] de dimension $1$. On dit alors que $H$ est de codimension $1$ dans $E$.
11
12Plus précisément, $F$ est un hyperplan dans l'espace vectoriel $E$ s'il existe une droite vectorielle $D$ de $E$ supplémentaire à $F$.
9Plus précisément, $H$ est un hyperplan dans l'espace vectoriel $E$ s'il existe une droite vectorielle $D$ de $E$ supplémentaire à $H$.
13
14Dans ce cas, $E$ admet la décomposition en [[somme directe|somme directe]] $E = F\oplus D$.
11Dans ce cas, $E$ admet la décomposition en [[somme directe|somme directe]] $E = H\oplus D$.
15
16#### Remarques
17
18$\bullet$ En utilisant le concept d'[[espace engendré|espace engendré]] par une famille de vecteurs une droite vectorielle $D$ de $E$ s'écrit comme le sous-espace vectoriel engendré par un vecteur non nul $u$ de $E$, ceci se note $D = \text{Vect}(u)$.
19
20De plus, si on veut préciser le corps de base $\mathbb{K}$ du $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$, la droite vectorielle $D$ se note $D = \text{Vect}_{\mathbb{K}}(u)$ ou $D = \mathbb{K}u$.
21
22$\bullet$ La notion d'hyperplan est très liée aux systèmes linéaires et donc aux applications linéaires. En effet, tout hyperplan d'un espace vectoriel $E$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle de $E$. Et cela a lieu même si $E$ est un espace vectoriel de dimension infinie.
19$\bullet$ La notion d'hyperplan est très liée aux systèmes linéaires et donc aux applications linéaires. En effet, tout hyperplan d'un espace vectoriel $E$ est le [[noyau|noyau]] d'une [[forme linéaire|forme linéaire]] _non nulle_ de $E$. Et cela a lieu même si $E$ est un espace vectoriel de dimension infinie.
23
24La première remarque nous amène à la définition suivante.
25
26#### Autre Définition
27
28Un sous-espace vectoriel $F$ est un hyperplan de $E$ s'il existe un vecteur non nul $u\in E$ tel que $E = F\oplus\text{Vect}(u)$.
29
30#### Exemples
31
32$\bullet$ La droite vectorielle $D = \R\left(\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right)$ est un hyperplan de $\R^{2}$.
29$\bullet$ La droite vectorielle $D = \R\left(\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right)=\{\left(\begin{array}{l}x\\0\end{array}\right), x\in\R\}$ est un hyperplan de $\R^{2}$.
33
34$\bullet$ Le plan vectoriel $P_{1} = \text{Vect}\left(\left(\begin{array}{l}1\\0\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0\\1\\0\end{array}\right)\right)$ est un hyperplan de $\R^{3}$.
35
36$\bullet$ Le plan vectoriel $P_{2} = \text{Vect}\left(\left(\begin{array}{l}1\\1\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0\\1\\1\end{array}\right)\right)$ est aussi un hyperplan de $\R^{3}$.
37
38$\bullet$ L'ensemble des solutions du système linéaire suivant d'inconnues $x,y$ et $z$ des réels est un hyperplan de $\R^{3}$ : $\left\lbrace\begin{array}{l}2x+y+z = 0\\-x+y-z=0\end{array}\right.$.
39
40$\bullet$ Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions $f$ de $\R$ dans $\R$ de la forme $f : x\mapsto ax+b$ avec $(a,b)\in\R^{2}$. Alors l'ensemble $F$ des fonctions $f\in E$ telles que $f(2) = 0$ est un hyperplan de $E$.

Revision 3678

9/3/2026, 12:21:08 PM · Ulysse85

Ajout de la définition formelle, des remarques, de l'autre définition, des exemples et de l'exercice "Hyperplan en tant que sous-espace maximal"

linked exercisesNoneHyperplan en tant que sous-espace maximal
Compare with revision 288532 changed lines
1##### Définition intuitive
2
3Soit $E$ un [[Corps|K]]-[[espace vectoriel]] de dimension $n\in \N$.
4Un hyperplan $H$ est un [[sous-espace vectoriel]] de dimension $n-1$ tel qu’il existe une droite vectorielle en somme directe qui permet de recréer $E$.
5
6Par exemple un plan 2D et une droite qui lui est perpendiculaire. Le plan 2D est donc un hyperplan d’un volume 3D.
7
8##### Définition formelle
9
10À compléter
10Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est un hyperplan s'il possède un [[supplémentaire|supplémentaire]] de dimension $1$. On dit alors que $F$ est de codimension $1$ dans $E$.
11
12Plus précisément, $F$ est un hyperplan dans l'espace vectoriel $E$ s'il existe une droite vectorielle $D$ de $E$ supplémentaire à $F$.
13
14Dans ce cas, $E$ admet la décomposition en [[somme directe|somme directe]] $E = F\oplus D$.
15
16#### Remarques
17
18$\bullet$ En utilisant le concept d'[[espace engendré|espace engendré]] par une famille de vecteurs une droite vectorielle $D$ de $E$ s'écrit comme le sous-espace vectoriel engendré par un vecteur non nul $u$ de $E$, ceci se note $D = \text{Vect}(u)$.
19
20De plus, si on veut préciser le corps de base $\mathbb{K}$ du $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$, la droite vectorielle $D$ se note $D = \text{Vect}_{\mathbb{K}}(u)$ ou $D = \mathbb{K}u$.
21
22$\bullet$ La notion d'hyperplan est très liée aux systèmes linéaires et donc aux applications linéaires. En effet, tout hyperplan d'un espace vectoriel $E$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle de $E$. Et cela a lieu même si $E$ est un espace vectoriel de dimension infinie.
23
24La première remarque nous amène à la définition suivante.
25
26#### Autre Définition
27
28Un sous-espace vectoriel $F$ est un hyperplan de $E$ s'il existe un vecteur non nul $u\in E$ tel que $E = F\oplus\text{Vect}(u)$.
29
30#### Exemples
31
32$\bullet$ La droite vectorielle $D = \R\left(\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right)$ est un hyperplan de $\R^{2}$.
33
34$\bullet$ Le plan vectoriel $P_{1} = \text{Vect}\left(\left(\begin{array}{l}1\\0\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0\\1\\0\end{array}\right)\right)$ est un hyperplan de $\R^{3}$.
35
36$\bullet$ Le plan vectoriel $P_{2} = \text{Vect}\left(\left(\begin{array}{l}1\\1\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0\\1\\1\end{array}\right)\right)$ est aussi un hyperplan de $\R^{3}$.
37
38$\bullet$ L'ensemble des solutions du système linéaire suivant d'inconnues $x,y$ et $z$ des réels est un hyperplan de $\R^{3}$ : $\left\lbrace\begin{array}{l}2x+y+z = 0\\-x+y-z=0\end{array}\right.$.
39
40$\bullet$ Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions $f$ de $\R$ dans $\R$ de la forme $f : x\mapsto ax+b$ avec $(a,b)\in\R^{2}$. Alors l'ensemble $F$ des fonctions $f\in E$ telles que $f(2) = 0$ est un hyperplan de $E$.

Revision 2885

8/30/2026, 12:23:51 PM · Him

Updated title and domain

titlehyperplanHyperplan
domainOtherLinear algebra

Revision 2882

8/30/2026, 12:23:12 PM · Him

Updated text

Compare with revision 28812 changed lines
1##### Définition intuitive
2
3Soit $E$ un [[Corps|K]]-[[espace vectoriel]] de dimension $n\in \N$.
4Un hyperplan $H$ est un espace de dimension $n-1$ tel qu’il existe une droite vectorielle en somme directe qui permet de recréer $E$.
4Un hyperplan $H$ est un [[sous-espace vectoriel]] de dimension $n-1$ tel qu’il existe une droite vectorielle en somme directe qui permet de recréer $E$.
5
6Par exemple un plan 2D et une droite qui lui est perpendiculaire. Le plan 2D est donc un hyperplan d’un volume 3D.
7
8##### Définition formelle
9
10À compléter

Revision 2881

8/30/2026, 12:21:47 PM · Him

Concept created

##### Définition intuitive

Soit $E$ un [[Corps|K]]-[[espace vectoriel]] de dimension $n\in \N$.
Un hyperplan $H$ est un espace de dimension $n-1$ tel qu’il existe une droite vectorielle en somme directe qui permet de recréer $E$.

Par exemple un plan 2D et une droite qui lui est perpendiculaire. Le plan 2D est donc un hyperplan d’un volume 3D.

##### Définition formelle

À compléter