Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Linear algebraExercise

Hyperplan en tant que sous-espace maximal

by Ulysse85·
35
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel et HH un hyperplan de EE.

  1. Montrer que pour tout u∈E∖Hu\in E\setminus{H}, on a E=H⊕Vect(u)E = H\oplus\text{Vect}(u).
  2. Soit FF un sous-espace vectoriel de EE tel que H⊂FH\subset F. Montrer que F=HF = H ou F=EF = E.
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Solution by Ulysse85

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  1. On va montrer séparément que pour tout u∈E∖Hu\in E\setminus{H}, H∩Vect(u)={0}H\cap\text{Vect}(u) = \{0\} et H+Vect(u)=EH+\text{Vect}(u) = E.

On a dans un premier temps H∩Vect(u)={0}H\cap\text{Vect}(u) = \{0\}.

Soit x∈H∩Vect(u)x\in H\cap\text{Vect}(u). Alors on a x=λux = \lambda u avec λ∈K\lambda\in\mathbb{K} et x∈Hx\in H.
Or si λ≠0\lambda\neq 0 alors x/λ=u∈Hx/\lambda=u\in H, ce qui est absurde. On en déduit que λ=0\lambda = 0 donc x=0x=0 et H∩Vect(u)⊂{0}H\cap\text{Vect}(u)\subset\{0\}.
Enfin comme H∩Vect(u)H\cap\text{Vect}(u) est sous-espace vectoriel de EE alors {0}⊂H∩Vect(u)\{0\}\subset H\cap\text{Vect}(u). On conclut que H∩Vect(u)={0}H\cap\text{Vect}(u) = \{0\} par double inclusion.

Ensuite, on a également H+Vect(u)=EH+\text{Vect}(u) = E.

En effet, comme HH est un hyperplan de EE alors, par définition, il existe w∈Ew\in E non nul tel que E=H⊕Vect(w)E = H\oplus\text{Vect}(w). Soit x∈Ex\in E alors il existe un unique h∈Hh\in H et un unique λ∈K\lambda\in\mathbb{K} tels que x=h+λwx = h+\lambda w.
De plus, u∈Eu\in E donc il existe un unique h′∈Hh'\in H et un unique μ∈K\mu\in\mathbb{K} tels que u=h′+μwu = h'+\mu w.
Si μ=0\mu = 0 alors u=h′∈Hu=h'\in H ce qui est absurde par hypothèse donc μ≠0\mu\neq 0. Ainsi ww s’écrit w=1μ(u−h′)w = \frac{1}{\mu}(u-h').
On remplace l’expression de ww dans x=h+λwx = h+\lambda w pour obtenir : x=h−λμh′+1μux = h -\frac{\lambda}{\mu}h'+\frac{1}{\mu}u. Et on remarque que h−λμh′∈Hh -\frac{\lambda}{\mu}h'\in H (car HH est un sous-espace vectoriel de EE) et 1μu∈Vect(u)\frac{1}{\mu}u\in\text{Vect}(u) donc x=h−λμh′+1μu∈H+Vect(u)x = h -\frac{\lambda}{\mu}h'+\frac{1}{\mu}u\in H+\text{Vect}(u).

On vient de montrer que E⊂H+Vect(u)E\subset H+\text{Vect}(u) et on a aussi H+Vect(u)⊂EH+\text{Vect}(u)\subset E d’où H+Vect(u)=EH+\text{Vect}(u) = E.
Par conséquent pour tout u∈E∖Hu\in E\setminus{H}, E=H⊕Vect(u)E = H\oplus\text{Vect}(u) puisqu’on vient de montrer que H∩Vect(u)={0}H\cap\text{Vect}(u) = \{0\} et H+Vect(u)=EH+\text{Vect}(u) = E.

  1. Soit FF un sous-espace vectoriel de EE tel que H⊂FH\subset F.

∙\bullet Si F⊂HF\subset H alors on a par double inclusion F=HF = H.
∙\bullet Sinon il existe u∈Fu\in F tel que u∈E∖Hu\in E\setminus{H}. Dans ce cas, on obtient E=H⊕Vect(u)E = H\oplus\text{Vect}(u) d’après la question 1).
Et comme H⊂FH\subset F et u∈Fu\in F alors on a E=H⊕Vect(u)⊂FE = H\oplus\text{Vect}(u)\subset F d’où F=EF = E.

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