Topologie des hyperplans

Il y a deux possibilités :

$(i)$ soit $H$ est fermé ;
$(ii)$ soit $H$ n’est pas fermé.

Si $H$ n’est pas fermé, il existe une suite $(x_{n})_{n}$ de points de $H$ qui converge vers un point $x \in E \setminus H$. Comme $H$ est un hyperplan, on a $x \neq 0$ et $H \oplus x\mathbb{R} = E$. Ainsi, si $y \in E$, $y = h + \lambda x$ où $h \in H$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Ainsi,

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~y = h + \lambda x = \underset{n \rightarrow \infty}{\mathrm{lim}}h+\lambda x_{n}$,

ce qui montre que $y \in \overline{H}$. Ainsi $\overline{H} = E$.

Notons $H = Ker$$\Phi$ avec $\Phi$ une forme linéaire sur $E$. On remarque que si $\Phi$ est continue, $H = Ker$$\Phi$ $=$ $\Phi^{-1}(\{0\})$ est un fermé. Que se passe-t-il si $\Phi$ n’est pas continue ?

Si $\Phi$ n’est pas continue, comme $\Phi$ est linéaire, $\Phi$ n’est pas bornée sur la sphère unité. On dispose alors d’une suite $(x_{n})$ de la sphère unité vérifiant : $\Phi$$(x_{n})$ $\longrightarrow$ $+$$\infty$.

Ainsi, soit $u \in E$. Posons $u_{n} = u - \frac{\Phi(u)}{\Phi(x_{n})}x_{n}$. On a, pour tout entier $n$, $\Phi(u_n)$=0 et $\lVert u -u_n \rVert$ = $\lvert \frac{\Phi(u)}{\Phi(x_{n})} \rvert$ $\longrightarrow$ $0$ .
On construit ainsi une suite de $H$ qui tend vers $u$. $H$ est dense dans $E$.

L’adhérence de $H$ est aussi un espace vectoriel contenant $H$.
En effet, toute combinaison linéaire d’éléments de $H$ est limite d’une combinaison linéaire d’éléments de $H$. Ainsi elle appartient l’adhérence, donc c’est un sous-espace vectoriel.
Mais $H$ est un hyperplan donc un sous espace strict maximal.

Ainsi, soit, $H$ est égal à son adhérence donc fermé, soit son adhérence est l’espace entier donc $H$ est dense.