Topologie des hyperplans

Il y a deux possibilités :

$(i)$ soit $H$ est fermé ;
$(ii)$ soit $H$ n’est pas fermé.

Si $H$ n’est pas fermé, il existe une suite $(x_{n})_{n}$ de points de $H$ qui converge vers un point $x \in E \setminus H$. Comme $H$ est un hyperplan, on a $x \neq 0$ et $H \oplus x\mathbb{R} = E$. Ainsi, si $y \in E$, $y = h + \lambda x$ où $h \in H$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Ainsi,

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~y = h + \lambda x = \underset{n \rightarrow \infty}{\mathrm{lim}}h+\lambda x_{n}$,

ce qui montre que $y \in \overline{H}$. Ainsi $\overline{H} = E$.