Topologie des hyperplans

Notons $H = Ker$$\Phi$ avec $\Phi$ une forme linéaire sur $E$. On remarque que si $\Phi$ est continue, $H = Ker$$\Phi$ $=$ $\Phi^{-1}(\{0\})$ est un fermé. Que se passe-t-il si $\Phi$ n’est pas continue ?

Si $\Phi$ n’est pas continue, comme $\Phi$ est linéaire, $\Phi$ n’est pas bornée sur la sphère unité. On dispose alors d’une suite $(x_{n})$ de la sphère unité vérifiant : $\Phi$$(x_{n})$ $\longrightarrow$ $+$$\infty$.

Ainsi, soit $u \in E$. Posons $u_{n} = u - \frac{\Phi(u)}{\Phi(x_{n})}x_{n}$. On a, pour tout entier $n$, $\Phi(u_n)$=0 et $\lVert u -u_n \rVert$ = $\lvert \frac{\Phi(u)}{\Phi(x_{n})} \rvert$ $\longrightarrow$ $0$ .
On construit ainsi une suite de $H$ qui tend vers $u$. $H$ est dense dans $E$.