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##### Définition intuitive
Une forme linéaire est une manière de mesurer un vecteur par un scalaire, de façon compatible avec l'addition et la multiplication par un scalaire : sommer deux vecteurs revient à sommer leurs mesures. C'est l'objet le plus simple qu'on puisse construire au-dessus d'un espace vectoriel, et pourtant l'ensemble de toutes les formes linéaires (appelé le dual) porte autant d'information que l'espace lui-même en dimension finie.

##### Définition formelle
Soit $K$ un corps et $E$ un $K$-espace vectoriel. Une *forme linéaire* sur $E$ est une application $\varphi:E\to K$ telle que
$$\forall x,y\in E,\ \forall\lambda\in K,\qquad \varphi(x+\lambda y)=\varphi(x)+\lambda\varphi(y).$$
L'ensemble de ces applications, muni des opérations point par point, est un $K$-espace vectoriel appelé *dual* de $E$ et noté $E^{*}$.

**Proposition (structure du noyau).** Soit $\varphi\in E^{*}$ non nulle. Alors $\ker\varphi$ est un hyperplan de $E$, c'est-à-dire un sous-espace admettant une droite pour supplémentaire. Réciproquement, tout hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle, et deux formes non nulles ont même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles.

*Preuve.* Comme $\varphi\neq 0$, elle est surjective sur $K$ et $E/\ker\varphi\simeq K$ est de dimension $1$ ; en choisissant $a$ avec $\varphi(a)=1$, on a $E=\ker\varphi\oplus Ka$, la décomposition étant $x=\bigl(x-\varphi(x)a\bigr)+\varphi(x)a$. Si $\ker\varphi=\ker\psi=H$ et $\psi(a)=\mu$, alors $\psi-\mu\varphi$ s'annule sur $H$ et sur $a$, donc partout. $\square$

**Base duale.** Si $E$ est de dimension finie $n$ et $(e_1,\dots,e_n)$ en est une base, les formes coordonnées $e_i^{*}$ définies par $e_i^{*}(e_j)=\delta_{ij}$ forment une base de $E^{*}$. En particulier
$$\dim E^{*}=\dim E=n,\qquad \varphi=\sum_{i=1}^{n}\varphi(e_i)\,e_i^{*}.$$

##### Remarques
* **Dualité en dimension finie.** L'application canonique $E\to E^{**}$, $x\mapsto(\varphi\mapsto\varphi(x))$, est injective en toute généralité et bijective en dimension finie : l'espace s'identifie naturellement à son bidual. En revanche l'isomorphisme $E\simeq E^{*}$ existe mais **n'est pas canonique** car il dépend du choix d'une base, ou d'un produit scalaire. C'est pourquoi on distingue soigneusement vecteurs et formes, colonnes et lignes.
* **Dimension infinie.** Il faut distinguer le dual algébrique $E^{*}$ (toutes les formes linéaires) du dual topologique $E'$ (les formes continues). Sur un espace normé de dimension infinie, l'inclusion $E'\subsetneq E^{*}$ est stricte : il existe des formes linéaires non continues, dont la construction requiert l'axiome du choix. En dimension finie, toute forme linéaire est automatiquement continue.
* **Hahn–Banach.** Sur un espace normé, toute forme linéaire continue définie sur un sous-espace se prolonge à l'espace entier sans augmenter sa norme. Il en résulte que $E'$ sépare les points : si $x\neq y$, il existe $\varphi\in E'$ avec $\varphi(x)\neq\varphi(y)$. C'est le fondement de la dualité en analyse fonctionnelle.
* **Contre-exemple à une confusion.** Une forme linéaire n'est pas une forme bilinéaire ni une forme quadratique : elle est linéaire en une seule variable et à valeurs scalaires. Ainsi $x\mapsto x_1$ est une forme linéaire sur $K^{n}$, tandis que $x\mapsto x_1^{2}$ n'en est pas une.