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##### Définition intuitive

Étant donné un [[Espace vectoriel|espace vectoriel]] de dimension finie $X$, il est connu que $X$ est isomorphe à son [[dual|dual]] $X^{*}$. En appliquant ce fait de nouveau, on trouve que $X$ est isomorphe à son [[dual|bidual]] $X^{**}$. En fait, cet isomorphisme est "naturel" (en un sens intuitif). 

En analyse, on travaille avec des espaces vectoriels réels, [[Espace vectoriel normé|normés]], et souvent de dimension infinie. Il n'arrive pas toujours que $X$ soit aussi "naturellement" isomorphe à son bidual ; les espaces qui satisfont cette propriété sont dit $\textbf{réflexifs}$. 

La réflexivité est, pour bien des raisons, une propriété fondamentale de l'analyse en dimension infinie. Par exemple, elle permet de récupérer ($\textit{en un certain sens !}$) la [[Espace compact|compacité]] de la boule unité fermée d'un espace de dimension infinie !

##### Définition formelle

Soit $X$ un espace vectoriel normé. Soit $j_{X} : X \longrightarrow X^{**}$ (où $X^{**}$ désigne le bidual $\textit{topologique}$) définie par $x \mapsto (x^{*} : \phi \mapsto \phi(x))$. Par le théorème de Hahn-Banach, l'application $j_{X}$ est une isométrie linéaire, appellée $\textbf{injection canonique}$ de $X$ vers $X^{**}$. On dit que $X$ est $\textbf{réflexif}$ si $j_{X}$ est [[Application surjective|surjective]].

##### Exemples

- Les espaces normés de [[dimension|dimension finie]] sont réflexifs.
- Les [[Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]] sont réflexifs.
- Si $1 < p < \infty$, les espaces $\mathrm{L}^{p}(X, \mathcal{T}, \mu)$ sont réflexifs (où $\mu$ est une mesure $\sigma$-finie et $(X,\mathcal{T})$ un espace mesurable). En particulier les espaces $\ell^{p}$ sont réflexifs si $1 < p < \infty$.
- Les espaces $c_{0}$, $\ell^{1}$ et $\ell^{\infty}$ ne sont pas réflexifs.
- Si $K$ est un espace compact [[métrisable|métrisable]] infini, l'espace $\mathcal{C}(K)$ n'est pas réflexif.

##### Propriétés

Un espace réflexif est toujours un [[Espace de Banach|espace de Banach]], puisqu'isométrique à un espace de Banach. Il existe bien des propriétés qui caractérisent les espaces réflexifs. En voici certaines :

- Un espace de Banach $X$ est réflexif si et seulement si sa boule unité fermée est [[topologie-faible|faiblement]] compacte.
- Un espace de Banach $X$ est réflexif si et seulement si de toute suite bornée on peut extraire une sous-suite [[topologie-faible|faiblement convergente]].
- Un espace de Banach $X$ est réflexif si et seulement si toute forme linéaire continue atteint sa norme.

Aucune des propriétés précédente n'est de nature évidente, surtout la dernière (qui est un théorème dû à Robert C. James). Un autre fait surprenant est qu'il existe des espaces non réflexifs et pourtant isométriques à leur bidual (le premier exemple de ce phénomène est appellé $\textbf{l'espace de James}$, donné par Robert C. James).