Le théorème de séparation de Hahn-Banach (version large)

Soit $x_{0} \in U$ et $y_{0} \in C$. On considère $V := (U-x_{0})-(C-y_{0})$. Il est facile de vérifier que $V$ est un ouvert convexe qui contient $0$. Soit $z_{0} = y_{0} - x_{0}$. On note $j_{V}$ la jauge de Minkowski de $V$. On remarque que $z_{0} \notin V$, en effet il existerait $u \in U$ et $c \in C$ tels que $u-x_{0} -c +y_{0} = y_{0} - x_{0}$, ce qui ne peut arriver puisque sinon $u = c$. Ainsi la forme linéaire $\phi : \mathbb{R}z_{0} \to \mathbb{R}$ définie par $\lambda z_{0} \mapsto \lambda$ satisfait $\phi(x) \leqslant j_{V}(x)$ pour tout $x \in z_{0}\mathbb{R}$, par le théorème de prolongement de Hahn-Banach, on prolonge $\phi$ en une forme linéaire $\bar{\phi}$ telle que pour tout $x \in X$, $\bar{\phi}(x) \leqslant j_{V}(x)$. Comme $j_{V}$ est continue en $0$ et que $\bar{\phi}(x) \leq \mathrm{max}(j_{V}(x),j_{V}(-x))$ pour tout $x \in X$, $\bar{\phi}$ est aussi continue en $0$, donc continue sur $X$. Si ensuite $a \in U$ et $b \in C$,
$$\bar{\phi}(a-x_{0} - (c - y_{0})) = \bar{\phi}(a-c) + \bar{\phi}(z_{0}) \leqslant j_{V}(a-c +z_{0}) < 1.$$

Ainsi $\bar{\phi}(a) < \bar{\phi}(c)$, et le résultat est démontré.