Minorant

Définition intuitive

Un minorant d’un ensemble est un élément plus petit que tous les éléments de cet ensemble.

Définition formelle

• Cas des réels :
  Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. Soit $a\in \mathbb{R}$. On dit que $a$ est un minorant de $A$ (ou que $a$ minore $A$) lorsque :
  $$\forall x\in A, \, a\le x.$$
• Cas général :
  Soit $(E,\preceq)$ un ensemble ordonné.
  Soit $A$ un sous-ensemble de $E$. Soit $a\in E$. On dit que $a$ est un minorant de $A$ (ou que $a$ minore $A$) lorsque :
  $$\forall x\in A, \, a\preceq x.$$

Remarques

Selon les ensembles ordonnés $E$ et sous-ensembles $A$ de $E$ étudiés, $A$ peut :

• ne pas avoir de minorant dans $E$
• avoir un unique minorant dans $E$
• avoir plusieurs minorants dans $E$

Exemples

• $\mathbb{Z}$ n’est pas minorée dans $\mathbb{R}$.
• Dans $\mathbb{R}$, $[2,3]$ est minorée par $2,1, -12...$ En fait, l’ensemble des minorants de $[2,3]$ dans $\mathbb{R}$ est $]-\infty,2]$
• Dans $E = \mathcal{P}([\![1,3]\!])$ muni de la relation d’ordre $\subset$, la partie $A = \{\emptyset, \{1,3\},\{2\}\}$ de $E$ est minorée par $\emptyset$, qui est le seul minorant dans $E$.