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Catégorie théorie des ensembles

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### Définition intuitive
Un minorant d'un ensemble est un élément plus petit que tous les éléments de cet ensemble.

### Définition formelle
- Cas des réels :
Soit $A$ un [[Sous-ensemble|sous-ensemble]] de $\mathbb{R}$. Soit $a\in \mathbb{R}$. On dit que $a$ est un minorant de $A$ (ou que $a$ minore $A$) lorsque :
\[\forall x\in A, \, a\le x.\]
- Cas général :
Soit $(E,\preceq)$ un [[Ensemble ordonné | ensemble ordonné]]. 
Soit $A$ un sous-ensemble de $E$. Soit $a\in E$. On dit que $a$ est un minorant de $A$ (ou que $a$ minore $A$) lorsque :
\[\forall x\in A, \, a\preceq x.\]

### Remarques
Selon les ensembles ordonnés $E$ et sous-ensembles $A$ de $E$ étudiés, $A$ peut :
- ne pas avoir de minorant dans $E$
- avoir un unique minorant dans $E$
- avoir plusieurs minorants dans $E$

 
### Exemples
- $\mathbb{Z}$ n'est pas minorée dans $\mathbb{R}$.
- Dans $\mathbb{R}$, $[2,3]$ est minorée par $2,1, -12...$ En fait, l'ensemble des minorants de $[2,3]$ dans $\mathbb{R}$ est $]-\infty,2]$
- Dans $E = \mathcal{P}([\![1,3]\!])$ muni de la relation d'ordre $\subset$, la partie $A = \{\emptyset, \{1,3\},\{2\}\}$ de $E$ est minorée par $\emptyset$, qui est le seul minorant dans $E$.