Majorant

Définition intuitive

Un majorant d’un ensemble est un élément plus grand que tous les éléments de cet ensemble.

Définition formelle

• Cas des réels :
  Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. Soit $a\in \mathbb{R}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
  $$\forall x\in A, \, x\leqslant a.$$
• Cas général :
  Soit $(E,\preccurlyeq)$ un ensemble ordonné.
  Soit $A$ un sous-ensemble de $E$. Soit $a\in E$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
  $$\forall x\in A, \, x\preccurlyeq a.$$

Remarques

Selon les ensembles ordonnés $E$ et sous-ensembles $A$ de $E$ étudiés, $A$ peut :

• ne pas avoir de majorant dans $E$ ;
• avoir un unique majorant dans $E$ ;
• avoir plusieurs majorants dans $E$.

Exemples

• $\mathbb{N}$ n’est pas majorée dans $\mathbb{R}$.
• Dans $\mathbb{R}$, $[0,1]$ est majoré par $2,\pi,56...$ En fait, l’ensemble des majorants de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ est $[1,+\infty[$
• Dans $E = \mathcal{P}([\![1,3]\!])$ muni de la relation d’ordre $\subset$, la partie $A = \{\{1,3\},\{2\},\{1,2,3\}\}$ de $E$ est majorée par $\{1,2,3\}$, qui est le seul majorant dans $E$.