Ivan Shishkin, Birch Grove

Majorant

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Revision 6885

10/8/2026, 10:18:49 AM · FiniteField

Added exercise "$0$ est supérieur à $1$ ?"

linked exercisesNone00 est supérieur à 11 ?

Revision 6874

10/8/2026, 9:05:57 AM · 2doupi

Concept reviewed

statusUsableReviewed

Revision 4769

9/13/2026, 10:25:50 AM · quark67

Remplacement de ≤ par ⩽ et de \preceq (qui n'existe pas en Unicode) par ≼ (caractère Unicode PRECEDES OR EQUAL TO) obtenu avec \preccurlyeq. Les glyphes avec le trait inférieur qui suit la courbure ou la pente sont plus élégants

Compare with revision 432712 changed lines
1### Définition intuitive
2Un majorant d'un ensemble est un élément plus grand que tous les éléments de cet ensemble.
3
4### Définition formelle
5- Cas des réels :
6Soit $A$ un [[Sous-ensemble|sous-ensemble]] de $\mathbb{R}$. Soit $a\in \mathbb{R}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
7\[\forall x\in A, \, x\le a.\]
7\[\forall x\in A, \, x\leqslant a.\]
8- Cas général :
9Soit $(E,\preceq)$ un [[Ensemble ordonné | ensemble ordonné]].
9Soit $(E,\preccurlyeq)$ un [[Ensemble ordonné | ensemble ordonné]].
10Soit $A$ un sous-ensemble de $E$. Soit $a\in E$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
11\[\forall x\in A, \, x\preceq a.\]
11\[\forall x\in A, \, x\preccurlyeq a.\]
12
13### Remarques
14Selon les ensembles ordonnés $E$ et sous-ensembles $A$ de $E$ étudiés, $A$ peut :
15- ne pas avoir de majorant dans $E$
15- ne pas avoir de majorant dans $E$ ;
16- avoir un unique majorant dans $E$
16- avoir un unique majorant dans $E$ ;
17- avoir plusieurs majorants dans $E$
17- avoir plusieurs majorants dans $E$.
18
19
20### Exemples
21- $\mathbb{N}$ n'est pas majorée dans $\mathbb{R}$.
22- Dans $\mathbb{R}$, $[0,1]$ est majoré par $2,\pi,56...$ En fait, l'ensemble des majorants de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ est $[1,+\infty[$
23- Dans $E = \mathcal{P}([\![1,3]\!])$ muni de la relation d'ordre $\subset$, la partie $A = \{\{1,3\},\{2\},\{1,2,3\}\}$ de $E$ est majorée par $\{1,2,3\}$, qui est le seul majorant dans $E$.

Revision 4327

9/9/2026, 10:36:36 AM · Ancient Tree

Concept marked usable

statusStubUsable

Revision 4326

9/9/2026, 10:36:30 AM · darktoaster

Titres de même taille - concept : sous-ensemble - Cas général : sans e, pas besoin d'être un corps, symbole relation diff - Une partie A peut très bien avoir qu'unseul majorant : cf. l'exemple que j'ai ajouté

Compare with revision 429825 changed lines
1### Définition intuitive
2Un majorant d'un ensemble est un élément plus grand que tous les éléments de cet ensemble.
3
4##### Définition formelle
4### Définition formelle
5- Cas des réels:
5- Cas des réels :
6Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. Soit $a\in \mathbb{R}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
6Soit $A$ un [[Sous-ensemble|sous-ensemble]] de $\mathbb{R}$. Soit $a\in \mathbb{R}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
7\[\forall x\in A, \, x\le a.\]
8- Cas générale:
9Soit $\mathbb{K}$ un [[corps ordonné]].
10Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{K}$. Soit $a\in \mathbb{K}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
11\[\forall x\in A, \, x\le a.\]
8- Cas général :
9Soit $(E,\preceq)$ un [[Ensemble ordonné | ensemble ordonné]].
10Soit $A$ un sous-ensemble de $E$. Soit $a\in E$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
11\[\forall x\in A, \, x\preceq a.\]
12
13### Remarques
14- Le majorant n'existe pas toujours.
14Selon les ensembles ordonnés $E$ et sous-ensembles $A$ de $E$ étudiés, $A$ peut :
15- Le majorant n'est pas unique.
15- ne pas avoir de majorant dans $E$
16- avoir un unique majorant dans $E$
17- avoir plusieurs majorants dans $E$
16
17
18##### Exemples
20### Exemples
19- $\mathbb{N}$ n'est pas majorée dans $\mathbb{R}$.
20- $[0,1]$ est majoré par $2,\pi,56...$ En fait, l'ensemble des majorants de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ est $[1,+\infty[$.
22- Dans $\mathbb{R}$, $[0,1]$ est majoré par $2,\pi,56...$ En fait, l'ensemble des majorants de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ est $[1,+\infty[$
23- Dans $E = \mathcal{P}([\![1,3]\!])$ muni de la relation d'ordre $\subset$, la partie $A = \{\{1,3\},\{2\},\{1,2,3\}\}$ de $E$ est majorée par $\{1,2,3\}$, qui est le seul majorant dans $E$.

Revision 4298

9/8/2026, 8:21:09 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 42972 changed lines
1### Définition intuitive
2Un majorant d'un ensemble est un élément plus grand que tous les éléments de cet ensemble.
3
4##### Définition formelle
5- Cas des réels:
6Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. Soit $a\in \mathbb{R}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
7\[\forall x\in A, \, x\le a.\]
8- Cas générale:
9Soit $\mathbb{K}$ un [[corps ordonné]].
10Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{K}$. Soit $a\in \mathbb{K}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
11\[\forall x\in A, \, x\le a.\]
12
13### Remarques
14- Le majorant n'existe pas toujours.
15- Le majorant n'est pas unique.
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18##### Exemples
19- $\mathbb{N}$ n'est pas majorée dans $\mathbb{R}$.
20- $[0,1]$ est majoré par $2,\pi,56...$ En fait, l'ensemble des majorants de $[0,1]$ est $[1,+\infty[$.
20- $[0,1]$ est majoré par $2,\pi,56...$ En fait, l'ensemble des majorants de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ est $[1,+\infty[$.

Revision 4297

9/8/2026, 8:20:13 PM · SalixBabylonica

Concept created

### Définition intuitive
Un majorant d'un ensemble est un élément plus grand que tous les éléments de cet ensemble.

##### Définition formelle
- Cas des réels:
Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. Soit $a\in \mathbb{R}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
\[\forall x\in A, \, x\le a.\]
- Cas générale:
Soit $\mathbb{K}$ un [[corps ordonné]]. 
Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{K}$. Soit $a\in \mathbb{K}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
\[\forall x\in A, \, x\le a.\]

### Remarques
- Le majorant n'existe pas toujours.
- Le majorant n'est pas unique.

 
##### Exemples
- $\mathbb{N}$ n'est pas majorée dans $\mathbb{R}$.
- $[0,1]$ est majoré par $2,\pi,56...$ En fait, l'ensemble des majorants de $[0,1]$ est $[1,+\infty[$.