Ivan Shishkin, Birch Grove

Majorant

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Revision 4327

9/9/2026, 10:36:36 AM · Ancient Tree

Concept marked usable

statusStubUsable

Revision 4326

9/9/2026, 10:36:30 AM · darktoaster

Titres de même taille - concept : sous-ensemble - Cas général : sans e, pas besoin d'être un corps, symbole relation diff - Une partie A peut très bien avoir qu'unseul majorant : cf. l'exemple que j'ai ajouté

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1### Définition intuitive
2Un majorant d'un ensemble est un élément plus grand que tous les éléments de cet ensemble.
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4##### Définition formelle
4### Définition formelle
5- Cas des réels:
5- Cas des réels :
6Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. Soit $a\in \mathbb{R}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
6Soit $A$ un [[Sous-ensemble|sous-ensemble]] de $\mathbb{R}$. Soit $a\in \mathbb{R}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
7\[\forall x\in A, \, x\le a.\]
8- Cas générale:
9Soit $\mathbb{K}$ un [[corps ordonné]].
10Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{K}$. Soit $a\in \mathbb{K}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
11\[\forall x\in A, \, x\le a.\]
8- Cas général :
9Soit $(E,\preceq)$ un [[Ensemble ordonné | ensemble ordonné]].
10Soit $A$ un sous-ensemble de $E$. Soit $a\in E$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
11\[\forall x\in A, \, x\preceq a.\]
12
13### Remarques
14- Le majorant n'existe pas toujours.
14Selon les ensembles ordonnés $E$ et sous-ensembles $A$ de $E$ étudiés, $A$ peut :
15- Le majorant n'est pas unique.
15- ne pas avoir de majorant dans $E$
16- avoir un unique majorant dans $E$
17- avoir plusieurs majorants dans $E$
16
17
18##### Exemples
20### Exemples
19- $\mathbb{N}$ n'est pas majorée dans $\mathbb{R}$.
20- $[0,1]$ est majoré par $2,\pi,56...$ En fait, l'ensemble des majorants de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ est $[1,+\infty[$.
22- Dans $\mathbb{R}$, $[0,1]$ est majoré par $2,\pi,56...$ En fait, l'ensemble des majorants de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ est $[1,+\infty[$
23- Dans $E = \mathcal{P}([\![1,3]\!])$ muni de la relation d'ordre $\subset$, la partie $A = \{\{1,3\},\{2\},\{1,2,3\}\}$ de $E$ est majorée par $\{1,2,3\}$, qui est le seul majorant dans $E$.

Revision 4298

9/8/2026, 8:21:09 PM · SalixBabylonica

Updated text

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1### Définition intuitive
2Un majorant d'un ensemble est un élément plus grand que tous les éléments de cet ensemble.
3
4##### Définition formelle
5- Cas des réels:
6Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. Soit $a\in \mathbb{R}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
7\[\forall x\in A, \, x\le a.\]
8- Cas générale:
9Soit $\mathbb{K}$ un [[corps ordonné]].
10Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{K}$. Soit $a\in \mathbb{K}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
11\[\forall x\in A, \, x\le a.\]
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13### Remarques
14- Le majorant n'existe pas toujours.
15- Le majorant n'est pas unique.
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18##### Exemples
19- $\mathbb{N}$ n'est pas majorée dans $\mathbb{R}$.
20- $[0,1]$ est majoré par $2,\pi,56...$ En fait, l'ensemble des majorants de $[0,1]$ est $[1,+\infty[$.
20- $[0,1]$ est majoré par $2,\pi,56...$ En fait, l'ensemble des majorants de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ est $[1,+\infty[$.

Revision 4297

9/8/2026, 8:20:13 PM · SalixBabylonica

Concept created

### Définition intuitive
Un majorant d'un ensemble est un élément plus grand que tous les éléments de cet ensemble.

##### Définition formelle
- Cas des réels:
Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. Soit $a\in \mathbb{R}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
\[\forall x\in A, \, x\le a.\]
- Cas générale:
Soit $\mathbb{K}$ un [[corps ordonné]]. 
Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{K}$. Soit $a\in \mathbb{K}$. On dit que $a$ est un majorant de $A$ (ou que $a$ majore $A$) lorsque :
\[\forall x\in A, \, x\le a.\]

### Remarques
- Le majorant n'existe pas toujours.
- Le majorant n'est pas unique.

 
##### Exemples
- $\mathbb{N}$ n'est pas majorée dans $\mathbb{R}$.
- $[0,1]$ est majoré par $2,\pi,56...$ En fait, l'ensemble des majorants de $[0,1]$ est $[1,+\infty[$.