carré parfait

Définition intuitive

Un carré parfait est un entier qui s’obtient en multipliant un entier par lui-même : $0, 1, 4, 9, 16, 25, \dots$

Définition formelle

Un entier $n\in\mathbb{Z}$ est un carré parfait s’il existe $m\in\mathbb{Z}$ tel que $n=m^{2}$. Comme $m^{2}=(-m)^{2}$, on peut supposer $m\geqslant 0$, et $m=\sqrt{n}$ est alors unique. Tout carré parfait est positif ou nul.
Caractérisation par la factorisation. Soit $n\geqslant 1$ de décomposition $n=\prod_p p^{v_p(n)}$. Alors
$$n \text{ est un carré parfait}\iff \forall p,\ v_p(n)\equiv 0 \pmod 2 .$$Preuve. Si $n=m^{2}$ alors $v_p(n)=2v_p(m)$. Réciproquement, si tous les $v_p(n)$ sont pairs, poser $m=\prod_p p^{v_p(n)/2}$ donne $m^{2}=n$. $\square$
Nombre de diviseurs. Le nombre de diviseurs $d(n)=\prod_p\bigl(v_p(n)+1\bigr)$ est impair si et seulement si $n$ est un carré parfait : les diviseurs s’apparient en couples $\{d, n/d\}$, et le seul cas non apparié est $d=\sqrt{n}$.
Critère de rationalité. Pour $n\in\mathbb{N}$, $\sqrt{n}\in\mathbb{Q}$ si et seulement si $n$ est un carré parfait.

Remarques

• Contraintes de congruence. Modulo $4$, un carré vaut $0$ ou $1$ ; modulo $8$, il vaut $0$, $1$ ou $4$ ; modulo $3$, il vaut $0$ ou $1$ ; modulo $9$, il vaut $0$, $1$, $4$ ou $7$. Ces restrictions donnent des tests d’exclusion instantanés : $n\equiv 2\pmod 4$ n’est jamais un carré, ni $n\equiv 3\pmod 4$.
• Ces critères ne sont que nécessaires. Aucun ensemble fini de congruences ne caractérise les carrés. Par exemple $n=33$ vérifie $33\equiv 1\pmod 4$, $\equiv 0\pmod 3$, $\equiv 1\pmod 8$, sans être un carré. Le seul test complet est le calcul de $\lfloor\sqrt n\rfloor$ suivi d’une élévation au carré.
• Résidus quadratiques. Modulo un premier impair $p$, exactement $\frac{p-1}{2}$ classes non nulles sont des carrés. Le symbole de Legendre $\left(\frac{a}{p}\right)$ code cette information, et la loi de réciprocité quadratique de Gauss relie $\left(\frac{p}{q}\right)$ et $\left(\frac{q}{p}\right)$, l’un des théorèmes les plus profonds de l’arithmétique élémentaire.