Catégorie

Définition informelle

Une catégorie est la donnée d’une collection d’objets liés par des flèches, de manière compositionnelle, et de sorte que toute flèche ait une unique flèche identité d’elle-même vers elle-même.

Définition formelle

Une catégorie $\mathcal{C}$ est la donnée d’une collection $\mathcal{Ob}(C)$ d’objets, et pour toute paire d’objets $X, Y$, d’une collection $\textnormal{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y)$ de morphismes, ou flèches, de $X$ vers $Y$, satisfaisant les axiomes suivant

• Pour toute paire$X \xrightarrow{f} Y$ et $Y \xrightarrow{g} Z$ de flèches de même codomaine, il existe une unique flèche de composition $g \circ f \in \textnormal{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Z)$.
• Pour tout objet $X \in \mathcal{C}$, il existe une unique flèche $\textnormal{id}_{X} \in \textnormal{Hom}_{\mathcal{C}}(X,X)$ appelée l’identité sur $X$, telle que pour toute flèche $W \xrightarrow{f}X$ , $\text{id}_{X} \circ f = f$ et pour toute flèche $X \xrightarrow{g} Y$, $g \circ \textnormal{id}_{X} = g$.
• La composition est associative.

Premiers exemples

• $\mathbf{0}$ est la catégorie vide. Elle n’a ni objet, ni flèche.
• $\mathbf{1}$ est la catégorie avec un seul objet et une seule flèche (à savoir la flèche identité, donnée axiomatiquement).
• Un préordre est un ensemble $X$ muni d’une relation binaire $\leq$ réflexive et transitive. On peut le voir comme une catégorie, dont les objets sont les éléments de $X$ et les flèches correspondent aux paires $(x,y)$ tq $x\leq y$ : $x\to y$.

Exemples usuels

• La catégorie $\mathbf{Ens}$ (ou, en contexte anglophone $\mathbf{Set}$) est la catégorie dont les objets sont les ensembles et les flèches sont les fonctions entre ensembles.