centralisateur

Définition intuitive

Le centralisateur d’un élément $g$ d’un groupe $G$ est l’ensemble des éléments qui commutent
avec $g$ : c’est la « part d’abélien » que $g$ voit autour de lui. Plus ce sous-groupe est
gros, moins $g$ est mobile sous conjugaison, et à l’extrême $C_G(g)=G$ signifie exactement
que $g$ appartient au centre. La bonne façon de le voir est dynamique : en faisant agir $G$
sur lui-même par conjugaison, le centralisateur de $g$ n’est rien d’autre que son
stabilisateur, de sorte que son indice compte les conjugués de $g$. C’est ce dictionnaire,
un sous-groupe d’un côté, une orbite de l’autre, qui fait des centralisateurs un outil de
comptage omniprésent, de l’équation aux classes aux théorèmes de Sylow.

Définition formelle

Soit $G$ un groupe et $S\subseteq G$ une partie. Le centralisateur de $S$ dans $G$ est
$$C_G(S)=\{x\in G \ :\ \forall s\in S,\ xs=sx\}=\bigcap_{s\in S}C_G(s).$$Pour un élément $g\in G$ on écrit simplement
$$C_G(g)=\{x\in G\ :\ xg=gx\}.$$C’est un sous-groupe de $G$.

Remarques

• $C_G(g)$ est le stabilisateur de $g$ pour l’action de $G$ sur lui-même par conjugaison. Le
  théorème orbite-stabilisateur donne alors, pour $G$ fini,
  $\bigl|\mathrm{Cl}(g)\bigr|=[G:C_G(g)]$, d’où l’équation aux classes
  $|G|=|Z(G)|+\sum_i [G:C_G(x_i)]$, la somme portant sur des représentants des classes de
  conjugaison non ponctuelles.
• $Z(G)=\bigcap_{g\in G}C_G(g)$, et $g\in Z(G)\iff C_G(g)=G$. On a toujours
  $\langle g\rangle\subseteq C_G(g)$, donc un centralisateur n’est jamais trivial dès que
  $g\neq e$.
• $C_G(xgx^{-1})=x\,C_G(g)\,x^{-1}$ : les centralisateurs d’éléments conjugués sont conjugués.
• Pour $H\leqslant G$, on a $C_G(H)\trianglelefteq N_G(H)$ et le quotient $N_G(H)/C_G(H)$
  s’injecte dans $\mathrm{Aut}(H)$ : c’est le lemme N/C.
• Un centralisateur n’est pas normal en général (voir l’exemple 3 ci-dessous), mais $C_G(S)$
  est normal dès que $S$ est stable par conjugaison, par exemple si $S\trianglelefteq G$.
• La même définition a un sens dans un anneau ou une algèbre, où l’on parle plutôt de
  commutant : $C_A(S)=\{x\in A : \forall s\in S,\ xs=sx\}$ est alors une sous-algèbre.

Exemples

1. $G$ est abélien si et seulement si $C_G(g)=G$ pour tout $g\in G$. Aux deux extrêmes :
   $C_G(e)=G$ toujours, et $C_G(S)=Z(G)$ lorsque $S$ engendre $G$.
2. Dans $\mathfrak{S}_n$, le centralisateur d’un $n$-cycle $\sigma$ est le groupe cyclique
   $\langle\sigma\rangle$, d’ordre $n$. Plus généralement, une permutation de type cyclique
   $1^{m_1}2^{m_2}\cdots n^{m_n}$ a un centralisateur d’ordre $\prod_{k}k^{m_k}\,m_k!$.
3. Dans $\mathfrak{S}_3$, $C\bigl((1\,2)\bigr)=\{\mathrm{id},(1\,2)\}$ est d’ordre $2=6/3$,
   conformément aux trois conjugués de $(1\,2)$. Ce sous-groupe n’est pas normal : un
   centralisateur n’a donc aucune raison de l’être.
4. Dans $\mathrm{GL}_n(K)$, le commutant d’une matrice diagonalisable à valeurs propres deux
   à deux distinctes est, dans une base propre, le groupe des matrices diagonales
   inversibles, isomorphe à $(K^{*})^{n}$. Dans $M_n(K)$, le commutant de $A$ est $K[A]$ si
   et seulement si $A$ est cyclique (polynôme minimal égal au polynôme caractéristique).
5. Dans le groupe des quaternions $Q_8$, $C(i)=\{\pm 1,\pm i\}\simeq\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$,
   d’indice $2$ : $i$ n’a que deux conjugués, $i$ et $-i$.
6. Dans le groupe diédral $D_n$ avec $n$ impair, le centralisateur d’une réflexion $s$ est
   $\{1,s\}$ ; pour $n$ pair il est d’ordre $4$, car le centre $\{1,r^{n/2}\}$ y est contenu.
7. Le centre de $\mathrm{GL}_n(K)$ étant réduit aux homothéties, $C(\lambda I_n)=\mathrm{GL}_n(K)$
   pour tout $\lambda\in K^{*}$ : un centralisateur peut être le groupe tout entier sans que
   celui-ci soit abélien.