Combinaison linéaire
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Revision 8210
11/7/2026, 8:05:26 AM · Ancient Tree
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##### Intuition2
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Si l'on dispose de deux [[vecteur|vecteurs]] $u$ et $v$, on dispose de deux opérations pour obtenir de nouveaux vecteurs : 4
- Les multiplier par un scalaire (c'est-à-dire les étirer, raccourcir, ou changer leur sens).4
- Les multiplier par un [[scalaire|scalaire]] (c'est-à-dire les étirer, raccourcir, ou changer leur sens).5
- Les additionner entre eux.6
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Le résultat de ces opérations s'appelle une combinaison linéaire.8
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##### Définition formelle10
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Soit $E$ un [[espace-vectoriel|espace vectoriel]]. On dit qu'un vecteur $w$ est une combinaison linéaire des vecteurs $v_{1},\ldots,v_{k}$ s'il existe des [[scalaire|scalaires]] $a_{1},\ldots,a_{k}$ tels que12
$$w=a_{1}v_{1}+\ldots+a_{k}v_{k}.$$13
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##### Exemples15
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- Soient $u=(1,2)$ et $v=(3,0)$ dans $\R^{2}$. Voici une combinaison linéaire de $u$ et $v$ :17
$$w=7u-4v=7\times(1,2)-4\times (3,0)=(7,14)-(12,0)=(-5,14).$$3 unchanged lines hidden
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- Les multiplier par un scalaire (c'est-à-dire les étirer, raccourcir, ou changer leur sens).4
- Les multiplier par un [[scalaire|scalaire]] (c'est-à-dire les étirer, raccourcir, ou changer leur sens).13 unchanged lines hidden
Revision 8209
11/7/2026, 8:05:07 AM · Ancient Tree
Concept created
##### Intuition
Si l'on dispose de deux [[vecteur|vecteurs]] $u$ et $v$, on dispose de deux opérations pour obtenir de nouveaux vecteurs :
- Les multiplier par un scalaire (c'est-à-dire les étirer, raccourcir, ou changer leur sens).
- Les additionner entre eux.
Le résultat de ces opérations s'appelle une combinaison linéaire.
##### Définition formelle
Soit $E$ un [[espace-vectoriel|espace vectoriel]]. On dit qu'un vecteur $w$ est une combinaison linéaire des vecteurs $v_{1},\ldots,v_{k}$ s'il existe des [[scalaire|scalaires]] $a_{1},\ldots,a_{k}$ tels que
$$w=a_{1}v_{1}+\ldots+a_{k}v_{k}.$$
##### Exemples
- Soient $u=(1,2)$ et $v=(3,0)$ dans $\R^{2}$. Voici une combinaison linéaire de $u$ et $v$ :
$$w=7u-4v=7\times(1,2)-4\times (3,0)=(7,14)-(12,0)=(-5,14).$$