Combinaison linéaire

Intuition

Si l’on dispose de deux vecteurs $u$ et $v$, on dispose de deux opérations pour obtenir de nouveaux vecteurs :

• Les multiplier par un scalaire (c’est-à-dire les étirer, raccourcir, ou changer leur sens).
• Les additionner entre eux.

Le résultat de ces opérations s’appelle une combinaison linéaire.

Définition formelle

Soit $E$ un espace vectoriel. On dit qu’un vecteur $w$ est une combinaison linéaire des vecteurs $v_{1},\ldots,v_{k}$ s’il existe des scalaires $a_{1},\ldots,a_{k}$ tels que
$$w=a_{1}v_{1}+\ldots+a_{k}v_{k}.$$

Exemples

• Soient $u=(1,2)$ et $v=(3,0)$ dans $\R^{2}$. Voici une combinaison linéaire de $u$ et $v$ :
  $$w=7u-4v=7\times(1,2)-4\times (3,0)=(7,14)-(12,0)=(-5,14).$$