Une projection de $\mathbb{R}^{2}$

Soient $E=\mathbb{R}^{2},u=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ et $v=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$ et $F=\mathrm{Vect}(u)$ et $G=\mathrm{Vect}(v)$

1. Justifier que $(u,v)$ forme une base de $\mathbb{R}^{2}$. En déduire que $F\oplus G=\mathbb{R}^{2}.$
   On pose $p$ la projection sur $F$ parallèlement à $G$.
2. Déterminer $M$, la matrice de $p$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^{2}$ (on pourra commencer par exprimer les vecteurs de la base canonique comme combinaisons linéaires de $u$ et de $v$).
3. Calculer $M^{2}$. Que constate-t-on ?
4. Déterminer le rang et la trace de $M$. Que constate-t-on ? Expliquez.