Projection linéaire

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Définition intuitive

Placez vous au soleil et regardez l’ombre de votre doigt sur le sol. Il s’agit de la projection de l’espace ( $E=\mathbb{R}^{3}$ ) sur le sol ( $F$ ) parallèlement à la direction du soleil ( $G$ ).
Sans préciser de point jouant le rôle de l’élément neutre sur le sol, il s’agit davantage d’une projection affine mais l’intuition est là...

Définition formelle

Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $k$ et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ supplémentaires, i.e. tels qu’on ait $E=F\oplus G.$ La projection sur $F$ parallèlement à $G$ est l’application définie par
$\begin{array}{rl}F\oplus G&\to E\\x+y&\mapsto x.\end{array}$

Propriétés intéressantes

Soient $E=F\oplus G$ et $p$ la projection sur $F$ parallèlement à $G.$

$p$ est un endomorphisme de $E$ .
On a $p^{2}=p$ où $p^{2}=p\circ p$ (l’ombre de l’ombre d’un point est l’ombre de ce point).
On a $\mathrm{im}(p)=F$ et $\ker(p)=G$ , en particulier on peut écrire $E=\mathrm{im}(p)\oplus \ker(p).$
Pour $x\in F,p(x)=x$ .
Lorsque $E$ est de dimension finie on a $\mathrm{rg}(p)=\mathrm{Tr}(p)$ (écrire la matrice de $p$ dans une base adaptée à la décomposition $E=\mathrm{im}(p)\oplus\ker(p).$
Si $q$ désigne la projection sur $G$ parallèlement à $F$ alors on a $p+q=\mathrm{id}_{E}.$

Exemples

Quelques exemples seraient les bienvenus

Pièges

Bien qu’on ait $\mathrm{im}(p)=F$ , $p$ n’est pas un élément de $\mathcal{L}(E,F).$
On a besoin de deux espaces supplémentaires pour définir une projection. Par exemple la phrase "on considère la projection sur $F$ " n’a pas de sens.
En particulier, une projection n’a aucune raison d’être une projection orthogonale en général. L’orthogonalité présuppose qu’on a une structure préhilbertienne en plus de la structure vectorielle.
Lorsqu’on parle de quotient d’espaces vectoriels de $E$ par rapport à un sous-espace vectoriel $F$ on appelle souvent l’application canonique $E\to E/F$ "projection canonique". C’est un faux-ami ; cette application n’est pas une projection linéaire au sens propre du terme car ce n’est pas un endomorphisme.

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Soient $E=\mathbb{R}^{2},u=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ et $v=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$ et $F=\mathrm{Vect}(u)$ et $G=\mathrm{Vect}(v)$
1. Justifier que $(u,v)$ forme une base de $\mathbb{R}^{2}$ . En déduire que $F\oplus G=\mathbb{R}^{2}.$
  On pose $p$ la projection sur $F$ parallèlement à $G$ .
2. Déterminer $M$ , la matrice de $p$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^{2}$ (on pourra commencer par exprimer les vecteurs de la base canonique comme combinaisons linéaires de $u$ et de $v$ ).
3. Calculer $M^{2}$ . Que constate-t-on ?
4. Déterminer le rang et la trace de $M$ . Que constate-t-on ? Expliquez.
Open exercise

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