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Added exercise "Une projection de $\mathbb{R}^{2}$"

Added exercise "Un exemple de projection"

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##### Définition intuitive

Placez vous au soleil et regardez l'ombre de votre doigt sur le sol. Il s'agit de la projection de l'espace ($E=\mathbb{R}^{3}$) sur le sol ($F$) parallèlement à la direction du soleil ($G$).
*Sans préciser de point jouant le rôle de l'élément neutre sur le sol, il s'agit davantage d'une projection affine mais l'intuition est là...*

##### Définition formelle

Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $k$ et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ [[supplementaire|supplémentaires]], i.e. tels qu'on ait $E=F\oplus G.$ La *projection* sur $F$ *parallèlement* à $G$ est l'application définie par
$$\begin{array}{rl}F\oplus G&\to E\\x+y&\mapsto x.\end{array}$$
#### Propriétés intéressantes
 
Soient $E=F\oplus G$ et $p$ la projection sur $F$ parallèlement à $G.$
* $p$ est un endomorphisme de $E$.
* On a $p^{2}=p$ où $p^{2}=p\circ p$ (l'ombre de l'ombre d'un point est l'ombre de ce point).
* On a $\mathrm{im}(p)=F$ et $\ker(p)=G$, en particulier on peut écrire $E=\mathrm{im}(p)\oplus \ker(p).$
* Pour $x\in F,p(x)=x$.
* Lorsque $E$ est de dimension finie on a $\mathrm{rg}(p)=\mathrm{Tr}(p)$ (écrire la matrice de $p$ dans une base adaptée à la décomposition $E=\mathrm{im}(p)\oplus\ker(p).$
* Si $q$ désigne la projection sur $G$ parallèlement à $F$ alors on a $p+q=\mathrm{id}_{E}.$

##### Exemples

*Quelques exemples seraient les bienvenus*

#### Pièges

* Bien qu'on ait $\mathrm{im}(p)=F$, $p$ **n'est pas** un élément de $\mathcal{L}(E,F).$
* On a besoin de deux espaces supplémentaires pour définir une projection. Par exemple la phrase "on considère la projection sur $F$" n'a pas de sens.
* En particulier, une projection n'a aucune raison d'être une [[projection orthogonale|projection orthogonale]] en général. L'orthogonalité présuppose qu'on a une structure préhilbertienne en plus de la structure vectorielle.
* Lorsqu'on parle de [[quotient d'espaces vectoriels|quotient d'espaces vectoriels]] de $E$ par rapport à un sous-espace vectoriel $F$ on appelle souvent l'application canonique $E\to E/F$ "projection canonique". C'est un faux-ami ; cette application n'est pas une projection linéaire au sens propre du terme car ce n'est pas un endomorphisme.