Convergence simple
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Revision 4582
9/11/2026, 8:25:29 PM · quark67
Petites corrections de notation
titleConvergence SimpleConvergence simple
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##### Définition intuitive2
3
On considère que $\mathbb{K} = \R$ (ou $\C$).4
Soit $A \subset \mathbb{K}$.5
Soit $(f_n)_{n}$ une suite d'applications de $A$ dans $\mathbb{K}$ et $f$ une application de $A$ dans $\mathbb{K}$.5
Soit $(f_n)$ une suite d'applications de $A$ dans $\mathbb{K}$ et $f$ une application de $A$ dans $\mathbb{K}$.6
7
La suite $(f_n)_{n}$ converge simplement vers $f$, si et seulement si, pour chaque $x \in A$, $\lim\limits_{n \to +\infty} (f_{n}(x)) = f(x)$7
La suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$, si et seulement si, pour chaque $x \in A$, $\lim\limits_{n \to +\infty} (f_{n}(x)) = f(x)$8
9
##### Définition formelle10
11
$$12
\forall \varepsilon \gt 0, \forall x \in A, \exists n_{x} \in \N, \forall n \in \N, (n \gt n_{x} \implies |f_{n}(x) - f(x)| \leq \varepsilon)12
\forall \varepsilon \gt 0, \forall x \in A, \exists n_{x} \in \N, \forall n \in \N, (n \gt n_{x} \implies |f_{n}(x) - f(x)| \leqslant \varepsilon)13
$$14
15
##### Exemples16
17
On définit la fonction $f_{n}$ sur $[0, 1]$ par $f_{n}(x) = x^{n}$.18
Pour $x \in [0, 1[$ on a $\lim\limits_{n \to +\infty} f_{n}(x) = \lim\limits_{n \to +\infty} x^{n} = 0$ et pour $x = 1$ la suite $(f_{n}(1))$ est constante égale à 1.19
Ainsi $(f_n)$ converge simplement vers $f \colon [0, 1] \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0, 1[ \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}$20
##### Remarques21
- **Attention:** Une suite d'applications continues $(f_n)_{n}$ convergeant simplement vers une fonction $f$ n'implique pas nécessairement que $f$ est continue, comme le montre l'exemple !21
- **Attention :** Une suite d'applications continues $(f_n)$ convergeant simplement vers une fonction $f$ n'implique pas nécessairement que $f$ est continue, comme le montre l'exemple !22
- La notion de convergence peut être élargie à des applications allant d'un ensemble quelconque vers un espace vectoriel normé.Revision 4521
9/11/2026, 12:36:01 PM · SalixBabylonica
Updated text
referencesSérie de fonctions Intégrale de Riemann | Chapitre 1 page 1, Toute l'analyse de la Licence (Cours et exercices corrigés | Chapitre 16 page 532Série de fonctions Intégrale de Riemann | Chapitre 1 page 1, Jean-Pierre Escofier — Toute l’analyse de la Licence — Cours et exercices corrigés | Chapitre 16, page 532
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1
##### Définition intuitive2
3
On considère que $\mathbb{K} = \R$ (ou $\C$).4
Soit $A \subset \mathbb{K}$.5
Soit $(f_n)$ une suite d'applications de $A$ dans $\mathbb{K}$ et $f$ une application de $A$ dans $\mathbb{K}$.5
Soit $(f_n)_{n}$ une suite d'applications de $A$ dans $\mathbb{K}$ et $f$ une application de $A$ dans $\mathbb{K}$.6
7
La suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$, si et seulement si, pour chaque $x \in A$, $\lim\limits_{n \to +\infty} (f_{n}(x)) = f(x)$7
La suite $(f_n)_{n}$ converge simplement vers $f$, si et seulement si, pour chaque $x \in A$, $\lim\limits_{n \to +\infty} (f_{n}(x)) = f(x)$8
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##### Définition formelle10
11
$$12
\forall \varepsilon \gt 0, \forall x \in A, \exists n_{x} \in \N, \forall n \in \N, (n \gt n_{x} \implies |f_{n}(x) - f(x)| \leq \varepsilon)13
$$14
15
##### Exemples16
17
On définit la fonction $f_{n}$ sur $[0, 1]$ par $f_{n}(x) = x^{n}$.18
Pour $x \in [0, 1[$ on a $\lim\limits_{n \to +\infty} f_{n}(x) = \lim\limits_{n \to +\infty} x^{n} = 0$ et pour $x = 1$ la suite $(f_{n}(1))$ est constante égale à 1.19
Ainsi $(f_n)$ converge simplement vers $f \colon [0, 1] \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0, 1[ \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}$20
##### Remarque20
##### Remarques21
21
- **Attention:** Une suite d'applications continues $(f_n)_{n}$ convergeant simplement vers une fonction $f$ n'implique pas nécessairement que $f$ est continue, comme le montre l'exemple !22
La notion de convergence peut être élargie à des applications allant d'un ensemble quelconque vers un espace vectoriel normé.22
- La notion de convergence peut être élargie à des applications allant d'un ensemble quelconque vers un espace vectoriel normé.Revision 2907
8/30/2026, 2:16:30 PM · Bfault
Concept created
##### Définition intuitive
On considère que $\mathbb{K} = \R$ (ou $\C$).
Soit $A \subset \mathbb{K}$.
Soit $(f_n)$ une suite d'applications de $A$ dans $\mathbb{K}$ et $f$ une application de $A$ dans $\mathbb{K}$.
La suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$, si et seulement si, pour chaque $x \in A$, $\lim\limits_{n \to +\infty} (f_{n}(x)) = f(x)$
##### Définition formelle
$$
\forall \varepsilon \gt 0, \forall x \in A, \exists n_{x} \in \N, \forall n \in \N, (n \gt n_{x} \implies |f_{n}(x) - f(x)| \leq \varepsilon)
$$
##### Exemples
On définit la fonction $f_{n}$ sur $[0, 1]$ par $f_{n}(x) = x^{n}$.
Pour $x \in [0, 1[$ on a $\lim\limits_{n \to +\infty} f_{n}(x) = \lim\limits_{n \to +\infty} x^{n} = 0$ et pour $x = 1$ la suite $(f_{n}(1))$ est constante égale à 1.
Ainsi $(f_n)$ converge simplement vers $f \colon [0, 1] \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0, 1[ \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}$
##### Remarque
La notion de convergence peut être élargie à des applications allant d'un ensemble quelconque vers un espace vectoriel normé.