Convergence simple

Définition intuitive

On considère que $\mathbb{K} = \R$ (ou $\C$).
Soit $A \subset \mathbb{K}$.
Soit $(f_n)$ une suite d’applications de $A$ dans $\mathbb{K}$ et $f$ une application de $A$ dans $\mathbb{K}$.

La suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$, si et seulement si, pour chaque $x \in A$, $\lim\limits_{n \to +\infty} (f_{n}(x)) = f(x)$

Définition formelle

$$\forall \varepsilon \gt 0, \forall x \in A, \exists n_{x} \in \N, \forall n \in \N, (n \gt n_{x} \implies |f_{n}(x) - f(x)| \leqslant \varepsilon)$$

Exemples

On définit la fonction $f_{n}$ sur $[0, 1]$ par $f_{n}(x) = x^{n}$.
Pour $x \in [0, 1[$ on a $\lim\limits_{n \to +\infty} f_{n}(x) = \lim\limits_{n \to +\infty} x^{n} = 0$ et pour $x = 1$ la suite $(f_{n}(1))$ est constante égale à 1.
Ainsi $(f_n)$ converge simplement vers $f \colon [0, 1] \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0, 1[ \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}$

Remarques

• Attention : Une suite d’applications continues $(f_n)$ convergeant simplement vers une fonction $f$ n’implique pas nécessairement que $f$ est continue, comme le montre l’exemple !
• La notion de convergence peut être élargie à des applications allant d’un ensemble quelconque vers un espace vectoriel normé.