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Added exercise "Convergence simple puis uniforme de la suite$(x^n)_n$"

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##### Définition intuitive
On considère que $\mathbb{K} = \R$ (ou $\C$).
Soit $A \subset \mathbb{K}$.
Soit $(f_n)$ une suite d'applications de $A$ dans $\mathbb{K}$ et $f$ une application de $A$ dans $\mathbb{K}$.

On note $\|f_n-f\|_{\infty,A} = \sup_{x\in A} |f_n(x)-f(x)|.$
La suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $A$, si et seulement si,$\lim\limits_{n \to +\infty} \|f_{n} - f)\|_{\infty,A} = 0$.

##### Définition formelle

\[ \forall \varepsilon>0,\; \exists N\in\mathbb N,\; \forall n\ge N,\; \forall x\in A,\qquad |f_n(x)-f(x)|\le \varepsilon. \]
ou encore 
\[ \forall \varepsilon>0,\; \exists N\in\mathbb N,\; \forall n\ge N,\qquad \|f_n-f\|_{\infty,A}\le \varepsilon. \]
##### Exemple 

Considérons, pour tout $n\in\mathbb N^*$, la fonction
\[ f_n : [0,1]\to\mathbb R, \qquad f_n(x)=\frac{x}{n}. \]
Pour tout $x\in[0,1]$, on a
\[ f_n(x)\xrightarrow[n\to+\infty]{}0. \]
La fonction limite est donc la fonction nulle :
\[ f(x)=0. \]
Calculons alors la norme uniforme de $f_n-f$ :
\[ \|f_n-f\|_{\infty,[0,1]} = \sup_{x\in[0,1]} \left|\frac{x}{n}\right|. \]
Comme $0\le x\le 1$, on obtient
\[ \sup_{x\in[0,1]} \left|\frac{x}{n}\right| = \frac1n. \]
Ainsi,
\[ \|f_n-f\|_{\infty,[0,1]} = \frac1n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0. \]
Par conséquent, la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$.

##### Remarques
- La convergence uniforme implique la [[convergence simple]].
-  Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions *continues* de $A$ dans $\mathbb{K}$ qui *convergent uniformément* vers $f$ sur $A$. Alors $f$ est **continue** su $A$.