Convergence uniforme

Définition intuitive

On considère que $\mathbb{K} = \R$ (ou $\C$).
Soit $A \subset \mathbb{K}$.
Soit $(f_n)$ une suite d’applications de $A$ dans $\mathbb{K}$ et $f$ une application de $A$ dans $\mathbb{K}$.

On note $\|f_n-f\|_{\infty,A} = \sup_{x\in A} |f_n(x)-f(x)|.$
La suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $A$, si et seulement si,$\lim\limits_{n \to +\infty} \|f_{n} - f)\|_{\infty,A} = 0$.

Définition formelle

$$\forall \varepsilon>0,\; \exists N\in\mathbb N,\; \forall n\ge N,\; \forall x\in A,\qquad |f_n(x)-f(x)|\le \varepsilon.$$ou encore
$$\forall \varepsilon>0,\; \exists N\in\mathbb N,\; \forall n\ge N,\qquad \|f_n-f\|_{\infty,A}\le \varepsilon.$$

Exemple

Considérons, pour tout $n\in\mathbb N^*$, la fonction
$$f_n : [0,1]\to\mathbb R, \qquad f_n(x)=\frac{x}{n}.$$Pour tout $x\in[0,1]$, on a
$$f_n(x)\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.$$La fonction limite est donc la fonction nulle :
$$f(x)=0.$$Calculons alors la norme uniforme de $f_n-f$ :
$$\|f_n-f\|_{\infty,[0,1]} = \sup_{x\in[0,1]} \left|\frac{x}{n}\right|.$$Comme $0\le x\le 1$, on obtient
$$\sup_{x\in[0,1]} \left|\frac{x}{n}\right| = \frac1n.$$Ainsi,
$$\|f_n-f\|_{\infty,[0,1]} = \frac1n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.$$Par conséquent, la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$.

Remarques

• La convergence uniforme implique la convergence simple.
• Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues de $A$ dans $\mathbb{K}$ qui convergent uniformément vers $f$ sur $A$. Alors $f$ est continue su $A$.