Corps différentiel

Définition intuitive

L’idée principal ici est de considérer des structures comme on peut en rencontrer assez fréquemment en regardant des objets comme :$\mathbb{C}(X), \mathbb{R}(X)$. C’est-à-dire des corps mais munit d’une dérivation. C’est l’étude de cette structure et des "équations différentielles" qui en découlent que l’on étudie.

Définition formelle

Soit $\mathbb{K}$ un corps. On dit que $\mathbb{K}$ est un corps différentiel si il existe une application $D: \mathbb{K}\longrightarrow\mathbb{K}$ qui répond aux exigences suivantes :

• $\forall (x,y)\in\mathbb{K}^{2}\quad D(x+y)=D(x)+D(y)$
• $\forall (x,y)\in \mathbb{K}^{2}\quad D(xy)=D(x)y+D(y)x$
  Cette application porte le nom de dérivation.

Exemples

• On a évidemment les exemples triviaux : $\mathbb{R}(X),\mathbb{C}(X),\mathbb{Q}(X)$. Munit de la dérivation usuelle des fractions rationnelles.
• Une structure plus riche pourrait être observée en considérant des corps tels que $\mathbb{F}_{p}(X)$.
• Le corps des séries formelles de Laurent $\mathbb{C}((X))$ munit de la dérivation usuelle.