Corps différentiel

Définition intuitive

L’idée principale ici est de considérer des structures comme on peut en rencontrer assez fréquemment en regardant des objets comme : $\mathbb{C}(X),\ \mathbb{R}(X)$. C’est-à-dire des corps mais munis d’une dérivation. C’est l’étude de cette structure et des « équations différentielles » qui en découlent que l’on étudie.

Définition formelle

Un corps différentiel est un couple $(\mathbb{K},D)$ où $\mathbb{K}$ est un corps et $D: \mathbb{K}\to\mathbb{K}$ est une dérivation dérivation, c’est-à-dire, avec les propriétés suivantes :

• $\forall (x,y)\in\mathbb{K}^{2},\quad D(x+y)=D(x)+D(y)$
• $\forall (x,y)\in \mathbb{K}^{2},\quad D(xy)=D(x)y+D(y)x$

Exemples

• On a évidemment les exemples triviaux : $\mathbb{R}(X),\mathbb{C}(X),\mathbb{Q}(X)$. Munis de la dérivation usuelle des fractions rationnelles.
• Une structure plus riche pourrait être observée en considérant des corps tels que $\mathbb{F}_{p}(X)$.
• Le corps des séries formelles de Laurent $\mathbb{C}((X))$ munis de la dérivation usuelle.