Critère de d’Alembert
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Revision 7548
10/21/2026, 2:07:42 PM · SalixBabylonica
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##### Intuition2
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Le critère de d'Alembert permet de déterminer si une [[serie|série]] converge ou diverge. 4
L'idée est de comparer la série avec une [[série géométrique|série géométrique]]5
$$\sum_{n\geqslant 0}q^{n}$$6
dont on sait qu'elle converge si $|q|<1$ et diverge si $|q|>1$.7
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##### Enoncé9
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Soit $(u_{n})$ une suite de nombres réels ou complexes, dont les termes sont non nuls à partir d'un certain rang. On suppose que11
$$\lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\ell,\quad \text{avec }l\in[0,+\infty].$$12
Alors :13
$$\left\{\begin{array}{l}14
\ell<1 \quad \Longrightarrow \sum u_n \text { converge absolument } \\15
\ell>1 \quad \Longrightarrow \sum u_n \text { diverge } \\16
\ell=1 \quad \Longrightarrow \text { on ne peut pas conclure }17
\end{array}\right.$$18
##### Remarque19
- Pour le cas où $l=1$, on ne peut pas conclure **à l'aide du critère de d'Alembert**. 20
Par exemple pour $u_{n}= \frac{1}{n}$, il vient que21
\[\lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=1, \]22
donc on ne peut pas conclure quant à la convergence de la série $\sum_{n\ge 0} \frac{1}{n}$ avec le critère de d'Alembert.23
Cependant, il possible de conclure par d'autres arguments (voir l'exercice nommé *limite de la série harmonique* associée au concept [[Série harmonique]]).Revision 7519
10/21/2026, 7:28:49 AM · Ancient Tree
Added exercise "Exemple d'utilisation du critère de d'Alembert"
linked exercisesNoneExemple d’utilisation du critère de d’Alembert
Revision 7518
10/21/2026, 7:25:25 AM · Ancient Tree
Concept created
##### Intuition
Le critère de d'Alembert permet de déterminer si une [[serie|série]] converge ou diverge.
L'idée est de comparer la série avec une [[série géométrique|série géométrique]]
$$\sum_{n\geqslant 0}q^{n}$$
dont on sait qu'elle converge si $|q|<1$ et diverge si $|q|>1$.
##### Enoncé
Soit $(u_{n})$ une suite de nombres réels ou complexes, dont les termes sont non nuls à partir d'un certain rang. On suppose que
$$\lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\ell,\quad \text{avec }l\in[0,+\infty].$$
Alors :
$$\left\{\begin{array}{l}
\ell<1 \quad \Longrightarrow \sum u_n \text { converge absolument } \\
\ell>1 \quad \Longrightarrow \sum u_n \text { diverge } \\
\ell=1 \quad \Longrightarrow \text { on ne peut pas conclure }
\end{array}\right.$$