Critère de d’Alembert

Intuition

Le critère de d’Alembert permet de déterminer si une série converge ou diverge.
L’idée est de comparer la série avec une série géométrique
$$\sum_{n\geqslant 0}q^{n}$$dont on sait qu’elle converge si $|q|<1$ et diverge si $|q|>1$.

Enoncé

Soit $(u_{n})$ une suite de nombres réels ou complexes, dont les termes sont non nuls à partir d’un certain rang. On suppose que
$$\lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\ell,\quad \text{avec }l\in[0,+\infty].$$Alors :
$$\left\{\begin{array}{l} \ell<1 \quad \Longrightarrow \sum u_n \text { converge absolument } \\ \ell>1 \quad \Longrightarrow \sum u_n \text { diverge } \\ \ell=1 \quad \Longrightarrow \text { on ne peut pas conclure } \end{array}\right.$$

Remarque

• Pour le cas où $l=1$, on ne peut pas conclure à l’aide du critère de d’Alembert.
  Par exemple pour $u_{n}= \frac{1}{n}$, il vient que
  $$\lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=1,$$donc on ne peut pas conclure quant à la convergence de la série $\sum_{n\ge 0} \frac{1}{n}$ avec le critère de d’Alembert.
  Cependant, il possible de conclure par d’autres arguments (voir l’exercice nommé limite de la série harmonique associée au concept Série harmonique).