Série

Définition intuitive

Une série est une somme comportant une infinité de termes, par exemple :
$$1+\frac12+\frac14+\frac{1}{8}+\cdots$$Pour donner un sens rigoureux à une telle somme, on s’intéresse aux sommes obtenues en ne gardant qu’un nombre fini de termes, appelées les sommes partielles.

Définition formelle

Soit $(u_{n})$ une suite. On appelle série de terme général $u_{n}$ la suite $(S_n)_{n}$ des sommes partielles :
$$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}.$$Elle est notée
$$\sum_{n\geqslant0}u_n.$$

Remarques

• Si la suite $(S_{n})_{n}$ converge, on dit que la série converge et on note sa limite
  $$\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}=\lim\limits_{N\to+\infty}\sum_{n=0}^{N}u_{n}$$que l’on appelle somme de la série.

Exemples

• Considérons la série
  $$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}$$

Ses premières sommes partielles sont
$$S_0=1,\qquad S_1=1+\frac12,\qquad S_2=1+\frac12+\frac14,\qquad S_{3}=1+\frac12+\frac14+\frac18.$$

• La série $\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}(-1)^{n}n$ existe car c’est simplement la suite $\displaystyle\left(\sum_{n=0}^{N}(-1)^{n}n\right)_{N\in\mathbb{N}}$ mais elle ne converge pas donc sa somme n’existe pas.