Série

Définition intuitive

Une série est une somme comportant une infinité de termes, par exemple :
$$1+\frac12+\frac14+\frac{1}{8}+\cdots$$Pour donner un sens rigoureux à une telle somme, on s’intéresse aux sommes obtenues en ne gardant qu’un nombre fini de termes, appelées les sommes partielles.

Définition formelle

Soit $(u_{n})$ une suite. On appelle série de terme général $u_{n}$ la suite $(S_n)$ des sommes partielles :
$$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}.$$Elle est notée
$$\sum_{n=0}^{\infty}u_n.$$

Exemples

• Considérons la série
  $$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}$$

Ses premières sommes partielles sont
$$S_0=1,\qquad S_1=1+\frac12,\qquad S_2=1+\frac12+\frac14,\qquad S_{3}=1+\frac12+\frac14+\frac18.$$