Ivan Shishkin, Birch Grove

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Revision 6913

10/8/2026, 4:14:45 PM · SalixBabylonica

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domainOtherReal analysis
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1##### Définition intuitive
2
3Une série est une somme comportant une infinité de termes, par exemple :
4$$1+\frac12+\frac14+\frac{1}{8}+\cdots$$
5Pour donner un sens rigoureux à une telle somme, on s'intéresse aux sommes obtenues en ne gardant qu'un nombre fini de termes, appelées les sommes partielles.
6
7##### Définition formelle
8
9Soit $(u_{n})$ une [[suite|suite]]. On appelle série de terme général $u_{n}$ la suite $(S_n)$ des sommes partielles :
9Soit $(u_{n})$ une [[suite|suite]]. On appelle **série** de terme général $u_{n}$ la suite $(S_n)_{n}$ des sommes partielles :
10$$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}.$$
11Elle est notée
12$$
13\sum_{n\geqslant0}u_n.$$
14Si la suite $(S_{n})$ converge on dit que la série converge et on note sa limite
14##### Remarques
15- Si la suite $(S_{n})_{n}$ converge, on dit que la série converge et on note sa limite
15$$\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}=\lim\limits_{N\to+\infty}\sum_{n=0}^{N}u_{n}$$
16que l'on appelle somme de la série.
17
18##### Exemples
19
20- Considérons la série
21$$
221+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}
23
24$$
25
26Ses premières sommes partielles sont
27$$
28S_0=1,\qquad
29S_1=1+\frac12,\qquad
30S_2=1+\frac12+\frac14,\qquad
31S_{3}=1+\frac12+\frac14+\frac18.
32$$
33* La série $\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}(-1)^{n}n$ existe car c'est simplement la suite $\displaystyle\left(\sum_{n=0}^{N}(-1)^{n}n\right)_{N\in\mathbb{N}}$ mais elle ne converge pas donc sa somme n'existe pas.

Revision 6421

10/2/2026, 10:42:18 AM · FiniteField

Updated text

Compare with revision 47547 changed lines
1##### Définition intuitive
2
3Une série est une somme comportant une infinité de termes, par exemple :
4$$1+\frac12+\frac14+\frac{1}{8}+\cdots$$
5Pour donner un sens rigoureux à une telle somme, on s'intéresse aux sommes obtenues en ne gardant qu'un nombre fini de termes, appelées les sommes partielles.
6
7##### Définition formelle
8
9Soit $(u_{n})$ une [[suite|suite]]. On appelle série de terme général $u_{n}$ la suite $(S_n)$ des sommes partielles :
10$$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}.$$
11Elle est notée
12$$
13\sum_{n=0}^{\infty}u_n.
13\sum_{n\geqslant0}u_n.$$
14$$
14Si la suite $(S_{n})$ converge on dit que la série converge et on note sa limite
15$$\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}=\lim\limits_{N\to+\infty}\sum_{n=0}^{N}u_{n}$$
16que l'on appelle somme de la série.
15
16##### Exemples
17
18- Considérons la série
19$$
201+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}
21
22$$
23
24Ses premières sommes partielles sont
25$$
26S_0=1,\qquad
27S_1=1+\frac12,\qquad
28S_2=1+\frac12+\frac14,\qquad
29S_{3}=1+\frac12+\frac14+\frac18.
30$$
33* La série $\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}(-1)^{n}n$ existe car c'est simplement la suite $\displaystyle\left(\sum_{n=0}^{N}(-1)^{n}n\right)_{N\in\mathbb{N}}$ mais elle ne converge pas donc sa somme n'existe pas.

Revision 4754

9/13/2026, 8:52:37 AM · Ancient Tree

Added exercise "Ecrire une série avec le symbole somme"

linked exercisesNoneEcrire une série avec le symbole somme

Revision 4753

9/13/2026, 8:50:40 AM · Ancient Tree

Concept created

##### Définition intuitive 

Une série est une somme comportant une infinité de termes, par exemple :
$$1+\frac12+\frac14+\frac{1}{8}+\cdots$$
Pour donner un sens rigoureux à une telle somme, on s'intéresse aux sommes obtenues en ne gardant qu'un nombre fini de termes, appelées les sommes partielles.

##### Définition formelle

Soit $(u_{n})$ une [[suite|suite]]. On appelle série de terme général $u_{n}$ la suite $(S_n)$ des sommes partielles :
$$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}.$$
Elle est notée
$$
\sum_{n=0}^{\infty}u_n.
$$

##### Exemples

- Considérons la série
$$
1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}

$$

Ses premières sommes partielles sont
$$
S_0=1,\qquad
S_1=1+\frac12,\qquad
S_2=1+\frac12+\frac14,\qquad
S_{3}=1+\frac12+\frac14+\frac18.
$$