Série harmonique

Définition formelle

On appelle série harmonique la série
$$\sum_{n\geqslant1}{}\frac{1}{n}.$$Il s’agit d’une série divergente à termes positifs donc $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots=+\infty.$

Remarque

C’est un excellent exemple de série qui diverge bien que son terme général tende vers $0.$ La série harmonique diverge mais ne diverge pas grossièrement comme la série $\displaystyle\sum_{n\geqslant 1} 1$.

Propriétés asymptotiques

• Il existe $\gamma\in\mathbb{R}$ appelé constante d’Euler telle que $\displaystyle \lim\limits_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}-\ln(n)=\gamma.$ Ce que l’on peut réécrire de façon plus concise
  $$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+o(1).$$