Série harmonique
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Revision 6495
10/3/2026, 10:51:02 AM · FiniteField
Added exercise "Différence de séries divergentes"
linked exercisesLimite de la série harmoniqueLimite de la série harmonique, Différence de séries divergentes
Revision 6494
10/3/2026, 10:48:40 AM · FiniteField
L'écriture $\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\dfrac{1}{n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots$ me semble trompeuse car on a à gauche de l'égalité une suite et à droite un réel (ou l'infini). J'ai précisé le comportement asymptotique également
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##### Définition formelle2
3
On appelle série harmonique la [[serie|série]]4
$$5
\sum_{n\geqslant1}{}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots5
\sum_{n\geqslant1}{}\frac{1}{n}.6
$$7
Il s'agit d'une série divergente à termes positifs donc $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots=+\infty.$8
#### Remarque9
10
C'est un excellent exemple de série qui diverge bien que son terme général tende vers $0.$ La série harmonique diverge mais ne diverge pas grossièrement comme la série $\displaystyle\sum_{n\geqslant 1} 1$.11
#### Propriétés asymptotiques12
13
* Il existe $\gamma\in\mathbb{R}$ appelé *constante d'Euler* telle que $\displaystyle \lim\limits_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}-\ln(n)=\gamma.$ Ce que l'on peut réécrire de façon plus concise14
$$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+o(1).$$Revision 6487
10/3/2026, 8:54:37 AM · Ancient Tree
Updated linked exercises
linked exercisesNoneLimite de la série harmonique
Revision 6483
10/3/2026, 8:49:32 AM · Ancient Tree
Updated text
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##### Définition formelle2
3
On appelle série harmonique la [[serie|série]]4
$$5
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots5
\sum_{n\geqslant1}{}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots6
$$Revision 5714
9/23/2026, 7:11:47 PM · Ancient Tree
Concept created
##### Définition formelle
On appelle série harmonique la [[serie|série]]
$$
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots
$$