Degré d’un polynôme
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Revision 7737
10/24/2026, 1:33:05 PM · SalixBabylonica
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##### Définition intuitive2
On appelle degré d'un polynome non nul $P$, le plus grand entier $n$ tel que le coefficient devant $X^n$ dans $P$ est non nul.3
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##### Définition 3
Soit $\mathbb K$ un corps. Un polynôme non nul4
\[ P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n \]5
est de degré $n$ lorsque6
\[ a_n\neq 0 \]7
et8
\[ a_k=0 \qquad \text{pour tout } k>n. \]9
Le coefficient $a_n$ est appelé le **coefficient dominant** de $P$. 10
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##### Notation12
On note alors13
\[ \deg(P)=n. \]14
Par convention,15
\[ \deg(0)=-\infty. \]16
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##### Remarques18
- Un polynôme est constant si et seulement si19
\[ \deg(P)\leq 0. \]20
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- Un polynôme non nul est constant si et seulement si22
\[ \deg(P)=0. \]23
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##### Propriétés 26
Soient $P,Q\in\mathbb K[X]$. 27
1) $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q),$28
2) $\deg(P+Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q)),$29
3) Si $\deg(P)\neq\deg(Q),$ alors30
\[ \deg(P+Q) = \max(\deg(P),\deg(Q)). \]Revision 7736
10/24/2026, 1:28:10 PM · SalixBabylonica
Concept created
##### Définition intuitive
##### Définition
Soit $\mathbb K$ un corps. Un polynôme non nul
\[ P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n \]
est de degré $n$ lorsque
\[ a_n\neq 0 \]
et
\[ a_k=0 \qquad \text{pour tout } k>n. \]
Le coefficient $a_n$ est appelé le **coefficient dominant** de $P$.
##### Notation
On note alors
\[ \deg(P)=n. \]
Par convention,
\[ \deg(0)=-\infty. \]
##### Remarques
- Un polynôme est constant si et seulement si
\[ \deg(P)\leq 0. \]
- Un polynôme non nul est constant si et seulement si
\[ \deg(P)=0. \]
##### Propriétés
Soient $P,Q\in\mathbb K[X]$.
1) $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q),$
2) $\deg(P+Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q)),$
3) Si $\deg(P)\neq\deg(Q),$ alors
\[ \deg(P+Q) = \max(\deg(P),\deg(Q)). \]