Degré d’un polynôme

Définition intuitive

On appelle degré d’un polynome non nul $P$, le plus grand entier $n$ tel que le coefficient devant $X^n$ dans $P$ est non nul.

Définition

Soit $\mathbb K$ un corps. Un polynôme non nul
$$P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$$est de degré $n$ lorsque
$$a_n\neq 0$$et
$$a_k=0 \qquad \text{pour tout } k>n.$$Le coefficient $a_n$ est appelé le coefficient dominant de $P$.

Notation

On note alors
$$\deg(P)=n.$$Par convention,
$$\deg(0)=-\infty.$$

Remarques

• Un polynôme est constant si et seulement si
  $$\deg(P)\leq 0.$$

• Un polynôme non nul est constant si et seulement si
  $$\deg(P)=0.$$

Propriétés

Soient $P,Q\in\mathbb K[X]$.

1. $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q),$
2. $\deg(P+Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q)),$
3. Si $\deg(P)\neq\deg(Q),$ alors
   $$\deg(P+Q) = \max(\deg(P),\deg(Q)).$$