Représentation polynomiale de l’évaluation en $0$

1. Orthonormalisons (par Gram-Schmidt) la base canonique de $\R_{n}[X]$ pour le produit scalaire $<P,Q>=\int_0^{1}P(t)Q(t)dt$, on obtient une base $E=(E_{i})_{i=0..n}$ échelonnée en degré. Cherchons $A$ par le biais de ses coordonnées dans $(E)$ qui sont par orthonormalité de $E$ les $(<A,E_{i}>)_{i=0..n}$ et par énoncé les $(E_{i}(0))_{i=0..n}$ : ceci prouve l’existence et l’unicité de $A$.
2. La coordonnée de $A$ sur $E_{n}$ est $E_{n}(0)$ qui dans Gram-Schmidt vaut à un facteur non nul près $<X^{n},1>={1\over n+1}\neq0$, donc $\deg A=n$.
   Notons $A_n$ ce polynôme puisqu’il dépend de $n$.
3. Soit $A$ un polynôme répondant à la demande et $n$ son degré. Il répond à la demande pour tout $P$ de $\R_{n}[X]$ donc $A=A_{n}$, mais il répond aussi à la demande pour tout $P$ de $\R_{n+1}[X]$ donc $\deg A=n+1$, c’est trop demander à un honnête polynôme d’avoir deux degrés différents : il n’existe pas de polynôme $A$ répondant à la demande.

On muni $\mathbb{R}_n[X]$ du produit scalaire :
$$\langle P,Q \rangle=\int_0^1 P(t)Q(t) dt.$$

1. On pose $\varphi : \mathbb{R}_n[X] \mapsto \mathbb{R}$ défini par $\varphi(P)=P(0)$.
   Cette application est linéaire. Elle est également continue puisque $\dim(\mathbb{R}_n[X])=n+1<+\infty$.
   Par théorème de Riesz, il existe un unique $A \in \mathbb{R}_n[X]$ tel que
   $$P(0) = \int_0^1 P(t)A(t) dt.$$
2. Raisonnons par l’absurde et supposons que $\deg(A)<n.$
   Dans ce cas, $XA(X) \in \mathbb{R}_n[X]$ et on a
   $$0=\int_0^1 tA^2(t) dt.$$Comme $tA^2(t)\ge 0$ pour $t \in [0,1]$, il vient que $tA^2(t) = 0$ pour $t \in [0,1]$.
   Ainsi, $A(t) = 0$ pour $t \in ]0,1]$.
   Le polynôme $A$ a une infinité de racines donc est nulle.
   Ceci est absurde (puisque pour $P=1$, on obtient $1=0$).

Donc $\deg(A)=n$.

3. On peut raisonner de la même manière que pour la question 2.
   En effet, en raisonnant par l’absurde et en supposant qu’il existe $A \in \mathbb{R}[X]$ tel que
   $$\forall P \in \mathbb{R}[X], \, P(0)=\int_0^1 P(t)A(t) dt,$$on peut prendre $P=XA \in \mathbb{R}[X]$ et on conclut de la même manière que $A$ est nulle.
   Ce qui aboudit à la même contradiction qu’à la question 2).

De ce fait, il n’existe pas de polynôme $A \in \mathbb{R}[X]$ tel que
$$\forall P \in \mathbb{R}[X], \, P(0)=\int_0^1 P(t)A(t) dt.$$