Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Représentation polynomiale de l’évaluation en 00

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Solution by budleya · FR

  1. Orthonormalisons (par Gram-Schmidt) la base canonique de Rn[X]\R_{n}[X] pour le produit scalaire <P,Q>=∫01P(t)Q(t)dt<P,Q>=\int_0^{1}P(t)Q(t)dt, on obtient une base E=(Ei)i=0..nE=(E_{i})_{i=0..n} échelonnée en degré. Cherchons AA par le biais de ses coordonnées dans (E)(E) qui sont par orthonormalité de EE les (<A,Ei>)i=0..n(<A,E_{i}>)_{i=0..n} et par énoncé les (Ei(0))i=0..n(E_{i}(0))_{i=0..n} : ceci prouve l’existence et l’unicité de AA.
  2. La coordonnée de AA sur EnE_{n} est En(0)E_{n}(0) qui dans Gram-Schmidt vaut à un facteur non nul près <Xn,1>=1n+1≠0<X^{n},1>={1\over n+1}\neq0, donc deg⁡A=n\deg A=n.
    Notons AnA_n ce polynôme puisqu’il dépend de nn.
  3. Soit AA un polynôme répondant à la demande et nn son degré. Il répond à la demande pour tout PP de Rn[X]\R_{n}[X] donc A=AnA=A_{n}, mais il répond aussi à la demande pour tout PP de Rn+1[X]\R_{n+1}[X] donc deg⁡A=n+1\deg A=n+1, c’est trop demander à un honnête polynôme d’avoir deux degrés différents : il n’existe pas de polynôme AA répondant à la demande.
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  1. · budleya

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La réponse à la question 2) ne me paraît pas suffisante : on pourrait avoir un polynôme de degré nn mais tel que En(0)=0E_{n}(0)=0, si le premier coefficient est nul !